Με απλά υλικά 40

#1

Έστω η συνάρτηση

f(x)=ex\ln x-k{{x}^{2}}

, με

x>0,k\in R

,για την οποία γνωρίζουμε ότι $f(x)\le 0$ για κάθε x>0

α) Να την ορίσετε κατάλληλα ώστε να είναι συνεχής στο x=0

β) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει το

Έστω τώρα ότι k=1

γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης {f}'(x)=0

δ) Αν $\rho$ είναι η μικρότερη ρίζα της εξίσωσης {f}'(x)=0

, να δείξετε ότι

f(\rho )>e\ln \frac{e}{2}\left( \rho -\frac{e}{2} \right)+\frac{{{e}^{2}}}{2}\ln \frac{e}{2}-\frac{{{e}^{2}}}{4}

Dimessi · #2

Για το

k_{\min}.

f\left ( e \right )\leqslant 0 \Longrightarrow k\geqslant 1

και για

όντως

f\left ( x \right )=x^{2}\left ( \dfrac{e\ln x}{x}-1 \right )

στο $\left ( 0,+\infty \right ).$ Στο $(0,+\infty)$ όμως

\dfrac{\ln x}{x}\leqslant \dfrac{1}{e} \Longrightarrow f\left ( x \right )\leqslant 0.

Άρα

k_{\min}=1.