Μέγιστο αθροίσματος κλασμάτων

Al.Koutsouridis · #1

Ο Γιώργος αθροίζει 2027

κλάσματα, το καθένα εκ των οποίων είναι ίσο με

\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{7}, -\dfrac{1}{3}, -\dfrac{1}{5}

ή

-\dfrac{1}{7}

(στο άθροισμα δεν είναι απαραίτητο να βρίσκονται κλάσματα όλων των ειδών). Ποιός είναι ο μέγιστος αριθμός, μικρότερος του

, που θα μπορούσε να προκύψει του Γιώργου;

Dimessi · #2

Εγώ σκέφτηκα το εξής αλλά δεν μου φαίνεται όμορφο στο μάτι ως κομψότητα σε σημείο που ντρέπομαι για το ότι το έκανα.
Θα χρησιμοποιήσουμε καθένα από τα κλάσματα

\textstyle { \displaystyle { \frac{1}{3},\frac{1}{5},\frac{1}{7},-\frac{1}{3},-\frac{1}{5},-\frac{1}{7} } }

από

φορές αντίστοιχα με

x_i\geq 0

για κάθε δείκτη

και είναι

\textstyle { \displaystyle { \sum=\frac{x_1-x_4}{3}+\frac{x_2-x_5}{5}+\frac{x_3-x_6}{7}<1 \Longrightarrow 35\left(x_1-x_4\right)+21(x_2-x_5)+15(x_3-x_6)\leq 104 } }

κι αφού

\textstyle { \displaystyle { 105\sum \equiv \left(x_1-x_4\right)+(x_2-x_5)+(x_3-x_6)=2027-2(x_4+x_5+x_6)\equiv 1\left (\mathrm{mod}2 \right) \Longrightarrow 105 \sum\le103. } }

Το

\textstyle \displaystyle \sum =\dfrac{103}{105}

είναι εφικτό θεωρώντας

x_1+x_2+x_3=1015

και

x_4+x_5+x_6=1012

με

x_1=x_4+2, x_2=x_5+3

και

x_3=x_6-2.

Αυτό μπορεί να επιτευχθεί με πολλούς τρόπους όπως ο

(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)=(1000,10,5,998,7,7).

Ένας άλλος τρόπος είναι ο

(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)=(338,338,339,336,335,341).

Άρα

\textstyle \displaystyle \sum _{\max}=\dfrac{103}{105}.

Μέγιστο αθροίσματος κλασμάτων

Μέγιστο αθροίσματος κλασμάτων

Re: Μέγιστο αθροίσματος κλασμάτων

Μέλη σε σύνδεση