Ευρεση φυσικων

antegeia · #1

Να βρεθουν ολοι οι φυσικοι αριθμοι n: η παρασταση $n^{n+1}+(n+1)^n$ να διαιρειται με το 5.

#2

antegeia έγραψε:Να βρεθουν ολοι οι φυσικοι αριθμοι n: η παρασταση $n^{n+1}+(n+1)^n$ να διαιρειται με το 5.

Ας δείξουμε πρώτα το παρακάτω

Αν $p\equiv q \pmod{4}$ , τότε $a^p \equiv a^q \pmod{5}$ για κάθε ακέραιο $a\geq 1$ .
***********************************************************************************************************************************

Απόδειξη: Πράγματι, ας υποθέσουμε ότι $p\geq q$ . Τότε είναι $\displaystyle{a^p-a^q=a^q(a^{p-q}-1)}$ .

Αν ο φυσικός

διαιρείται με το 5, ο ισχυρισμός έπεται άμεσα. Αλλοιώς, από το μικρό θεώρημα του Fermat

έχουμε $\displaystyle{a^4\equiv 1 \pmod{5}}$ , οπότε αφού p-q=4k

για κάποιο $k\geq 0$ , ισχύει

$\displaystyle{a^{p-q}=(a^{4})^{k}\equiv 1 \pmod{5}}$

κι ο ισχυρισμός έπεται.

***********************************************************************************************************************************

Από το παραπάνω έπεται αμέσως ότι αν $\displaystyle{n\equiv m \pmod{20}}$ , τότε

$\displaystyle{m^{n+1} \equiv m^{m+1} \pmod{5}}$ και $\displaystyle{(m+1)^{n} \equiv (m+1)^{m} \pmod{5}}$

Συνεπώς,

$\displaystyle{n^{n+1}+(n+1)^n \equiv m^{n+1} + (m+1)^{n}\equiv m^{m+1} +(m+1)^{m}\pmod{5} }$

Άρα αρκεί να υπολογίσουμε τα υπόλοιπα της διαίρεσης του $n^{n+1}+(n+1)^n$ με το 5 για n=1

έως

.

Τα μόνα

που δίνουν υπόλοιπο 0 είναι n=3

και

.

Συνεπώς, οι λύσεις είναι n=3+20k

και

(

μη αρνητικός ακέραιος).

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ευρεση φυσικων

Ευρεση φυσικων

Re: Ευρεση φυσικων

Μέλη σε σύνδεση