Αρχική

dxdy · #1

Να βρειτε μια αρχική της συνάρτησης $\displaystyle{f:R \to R,f(x) = \frac{x}{{{2^x} + {2^{ - x}} + 2}}}$ .

#2

Η συνάρτηση γίνεται $f(x) = \frac{x\cdot 2^x}{(2^x+1)^2}$ Άρα έχουμε
$\int \frac{x\cdot 2^x}{(2^x+1)^2}dx = -\frac{1}{ln2}\int (\frac{1}{2^x+1})'\cdot xdx =-\frac{1}{ln2}\cdot\frac{x}{2^x+1}+ \frac{1}{ln2}\cdot\int \frac{1}{2^x+1}dx = -\frac{1}{ln2}\cdot\frac{x}{2^x+1}+ \frac{1}{ln2}\cdot\int \frac{2^x}{2^x(2^x+1)}dx$
Θέτουμε το 2^x = t

και καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα $\frac{1}{ln^22}\cdot \int \frac{1}{t(t+1)}dt$ το οποίο είναι εύκολο να υπολογιστει

φυσικά δεν ξεχνάμε στο τέλος να αντικαταστήσουμε το t = 2^x

Αύριο θα δώσω τελικό αποτέλεσμα

Χρήστος

S.E.Louridas · #3

$f\left( x \right) = \frac{{x \cdot 2^x }} {{\left( {2^x + 1} \right)\ln 2}} - \frac{{\ln \left( {2^x + 1} \right)}} {{\ln ^2 2}} + 2040.$

S.E.Louridas

#4

Λοιπόν εγώ βρίσκω ότι
$F(x)= -\frac{x}{(2^x+1)ln2}+\frac{1}{ln^22}\cdot ln\left(\frac{2^x}{2^x+1}\right)+c$

το αποτέλεσμα είναι το ίδιο με του Σωτήρη
Τα μεγάλα πνεύματα συναντώνται στο c

Χρήστος

Αρχική

Αρχική

Re: Αρχική

Re: Αρχική

Re: Αρχική

Μέλη σε σύνδεση