Αλλαγές στις εξισώσεις 1ου βαθμού

[Πρωτοπαπάς Λευτέρης]

Προς τιμή της μαθηματικής μας κοινότητας, παραθέτουμε την 7η ενότητα (εξισώσεις 1ου βαθμού) σε PDF, από το νέο μας αναμορφωμένο βιβλίο για την Άλγεβρα της Α΄Λυκείου (Ευσταθίου-Πρωτοπαπάς).

Επιφυλάσσομαι για την έκδοση σε Word, διότι απαιτεί σχετική επεξεργασία.

[kika]

Προς τιμή της μαθηματικής μας κοινότητας, παραθέτουμε την 7η ενότητα (εξισώσεις 1ου βαθμού) σε PDF, από το νέο μας αναμορφωμένο βιβλίο για την Άλγεβρα της Α΄Λυκείου (Ευσταθίου-Πρωτοπαπάς).

Επιφυλάσσομαι για την έκδοση σε Word, διότι απαιτεί σχετική επεξεργασία.

όμορφο και προσεγμένο.
θα το χρησιμοποιήσω στην τάξη σίγουρα!
ευχαριστώ

[Γιώργος Ρίζος]

Για τους μαθητές μας προτείνω δύο θέματα από το πλούσιο σε περιεχόμενο, όμορφο σε εμφάνιση και με σωστά διαβαθμισμένες ασκήσεις βιβλίο του Λευτέρη: ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ από την ενότητα της Διάταξης πραγματικών αριθμών:

(1) Δίνεται τρίγωνο με μήκη πλευρών α, β και γ. Αν ισχύει: , να δείξετε ότι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου είναι η α.

(2) Αν , να εξετάσετε για ποιες τιμές των α, β μεγιστοποιείται το γινόμενο


Λευτέρη, εύχομαι να είναι Καλοτάξιδο!

Γιώργος Ρίζος

[chris_gatos]

Λευτέρη ευχαριστούμε θερμά!

[Μάκης Χατζόπουλος]

Θα συμφωνήσω, είναι ένα καλό και δουλεμένο βιβλίο που στοχεύει στους μαθητές, άρτιο και περιεκτικό. Το συστήνω!

Καλή επιτυχία Λευτέρη!

(1) Δίνεται τρίγωνο με μήκη πλευρών α, β και γ. Αν ισχύει: , να δείξετε ότι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου είναι η α.

Έχουμε,

άρα

Επίσης,

δηλ.

άρα το τρίγωνο έχει μεγαλύτερη πλευρά την α.

ΕΞΤΡΑ ΕΡΩΤΗΜΑ (για Β' Λυκείου Γεωμετρία)
Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με πλευρές a, b,c είναι αμβλυγώνιο!

[Μάκης Χατζόπουλος]

(2) Αν , να εξετάσετε για ποιες τιμές των α, β μεγιστοποιείται το γινόμενο

Μια υπόδειξη για να αφήσουμε κανένα μαθητή να την απολαύσει!

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

[Σταύρος Σταυρόπουλος]

Αγαπητέ Λευτέρη

Σε ευχαριστούμε πολύ και σου εύχομαι να είσαι πάντα υγιής για να προσφέρεις τόσο στους μαθητές όσο και σε εμάς.

[Χρήστος Λαζαρίδης]

Το νέο σχολικό βιβλίο της Α΄Λυκείου, που επιτέλους κυκλοφόρησε, αποτελεί μία προσπάθεια, η οποία θα κριθεί.
Το βιβλίο του Λευτέρη, πιστεύω ότι θα βοηθήσει μαθητές και καθηγητές.
Καλή επιτυχία!

Φιλικά Χρήστος

[nkatsipis]

Λευτέρη σε ευχαριστούμε πολύ!
Να είσαι καλά!

Νίκος Κατσίπης

[Α.Κυριακόπουλος]

Αγαπητέ Λευτέρη.
Έριξα μια γρήγορη ματιά στο συνημμένο, για τις εξισώσεις και εντελώς καλοπροαίρετα θέλω να επισημάνω τα εξής:
1) Καταρχήν, αφού σκοπός σου είναι να βοηθήσεις τα παιδιά, δεν θα έπρεπε πρώτα απ' όλα να γράψεις τι είναι εξίσωση; Μιλάμε συνέχεια για εξισώσεις χωρίς να έχουμε πει στους μαθητές τι είναι εξίσωση. Ίσως μου πεις ότι το ξέρουν από το Γυμνάσιο. Ξέρεις πολύ καλά ότι ούτε εκεί τα σχολικά βιβλία λένε τι είναι εξίσωση. Ίσως ακόμα μου πεις ότι αφού δεν το έχουν τα σχολικά βιβλία γιατί να τους το γράψω εγώ. Μα, όταν γράφουμε ένα βιβλίο για να βοηθήσουμε τους μαθητές δεν γράφουμε μόνο αυτά που έχει το σχολικό βιβλίο. Τότε δεν χρειάζεται να το γράψουμε. Γράφουμε ότι είναι αναγκαίο για να καταλάβουν τα παιδιά τις έννοιες που έχει το σχολικό βιβλίο και δεν τις εξηγεί. Διορθώνουμε τα λάθη του, αν έχει λάθη και δίνουμε, περαιτέρω επεξηγήσεις στα διάφορα θέματα που έχει το σχολικό βιβλίο.
Θα μου επιτρέψεις να σου πω ότι αυτά που γράφεις δεν βοηθάνε στην κατανόηση των εξισώσεων, παρά μόνον στο μηχανικό τρόπο επίλυσης αυτών.
•Γενικά, θα ήθελα να πω ότι οι «συνταγές» για την λύση ασκήσεων, χωρίς προηγουμένως να έχει αναλυθεί και να έχει κατανοηθεί η θεωρία, είναι ότι το χειρότερο στα μαθηματικά.
2) Στη σελίδα 100, Παρατηρήσεις 2,γράφεις: « Όταν μια εξίσωση έχει ή μπορεί να γραφεί στη μορφή α.β=0…». Ένας μαθητής θα αναρωτηθεί: « Μια εξίσωση έχει άγνωστο. Στη μορφή α.β=0 που είναι ο άγνωστος;». Δεν υπάρχει κίνδυνος να θεωρήσει ως άγνωστο ένα από τα α και β ( ή και τα δύο );
Όμοια και παρακάτω.
3) Στη σελίδα 100, ορισμοί ,γράφεις: «2. H εξίσωση αx+β=0, όπου τα α και β δεν είναι πραγματικοί αριθμοί, αλλά εκφράζονται με τη βοήθεια γραμμάτων…». Είσαι σίγουρος ότι θα καταλάβουν τα παιδιά τι εννοείς; Ή μήπως τα παιδιά καταλάβουν ότι τα α και β, αφού δεν είναι αριθμοί, είναι λέξεις!!!, γιατί και αυτές εκφράζονται με τη βοήθεια γραμμάτων!!!
4) Σελίδα 101. Όταν ένας μαθητής κάνει αυτά που γράφεις στην 1η ΜΕΘΟΔΟ (από β και μετά) δεν εξηγείς τι σχέση έχει η εξίσωση που προκύπτει με την προηγούμενη και γιατί. Όμοια στη σελίδα 102, 2η ΜΕΘΟΔΟ , όπως και σε όλες τις επόμενες μεθόδους.
5) Σελίδα 102. Στη λύση της άσκησης 2 , γράφεις στο γ) «Πρέπει…» και μετά συνεχίζεις με ισοδυναμίες. Τι μήνυμα περνάς στα παιδιά;
6) Σελίδα 103. Στη λύση της άσκησης 3 α) πρώτα μετασχηματίζεις την εξίσωση και μετά βάζεις τους περιορισμούς για το x. Αυτό δεν είναι σωστό. Γιατί έτσι υπονοείται, είτε το θέλουμε είτε όχι, ότι ο μετασχηματισμός που έκανες στην εξίσωση( πριν βάλεις τους περιορισμούς) ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό x. Που βέβαια είναι λάθος.
Φιλικά.

[Γιώργος Ρίζος]

Αγαπητέ Λευτέρη.
Έριξα μια γρήγορη ματιά στο συνημμένο, για τις εξισώσεις και εντελώς καλοπροαίρετα θέλω να επισημάνω τα εξής:
1) Καταρχήν, αφού σκοπός σου είναι να βοηθήσεις τα παιδιά, δεν θα έπρεπε πρώτα απ' όλα να γράψεις τι είναι εξίσωση; Μιλάμε συνέχεια για εξισώσεις χωρίς να έχουμε πει στους μαθητές τι είναι εξίσωση. Ίσως μου πεις ότι το ξέρουν από το Γυμνάσιο. Ξέρεις πολύ καλά ότι ούτε εκεί τα σχολικά βιβλία λένε τι είναι εξίσωση. Ίσως ακόμα μου πεις ότι αφού δεν το έχουν τα σχολικά βιβλία γιατί να τους το γράψω εγώ. ...

Αγαπητέ Αντώνη,
Οι μονόλογοι του τύπου: Γράφω κάτι, κατόπιν γράφω: "ίσως μου πεις", απαντώ ξανά κ.ο.κ., ποτέ δεν μου άρεσαν! Οι (εννοείται προαιρετικοί) κανόνες του (αγγλιστί) fair play επιβάλουν όταν έχω κάτι να παρατηρήσω να απευθυνθώ με κατ΄ιδίαν διάλογο στον άμεσα ενδιαφερόμενο, να ακούσω από το δικό του στόμα τι έχει να μου πει και κατόπιν είμαι ηθικά ελεύθερος να διατυπώσω την άποψή μου.
Κατ΄εξαίρεση νομίζω ότι έχουμε το ηθικό δικαίωμα της άμεσης κριτικής και μάλιστα σκληρής στα επίσημα σχολικά βιβλία, τα οποία υποχρεωνόμαστε όλοι να διδάξουμε, οπότε και μάς πέφτει άμεσα λόγος.

Όσο για το τι είναι εξίσωση; Υπάρχει στο Σχολ. βιβλίο Α΄ Γυμνασίου σελ 73 και Β΄ Γυμνασίου σελ. 17 και βιβλίο καθηγητή σελ. 12 και βεβαίως θα μπορούσαμε να το εκλάβουμε ως υποτίμηση του ρόλου μας όσοι διδάσκουμε σε Γυμνάσια, την υπόνοια και μόνο ότι δεν διδάξαμε τον ορισμό της εξίσωσης!

Ομολογώ ότι δυσκολεύομαι να εντοπίσω τα "επικίνδυνα" για τις αθώες ψυχές των μαθητών σφάλματα:
Π.χ.

6) Σελίδα 103. Στη λύση της άσκησης 3 α) πρώτα μετασχηματίζεις την εξίσωση και μετά βάζεις τους περιορισμούς για το x. Αυτό δεν είναι σωστό. Γιατί έτσι υπονοείται, είτε το θέλουμε είτε όχι, ότι ο μετασχηματισμός που έκανες στην εξίσωση( πριν βάλεις τους περιορισμούς) ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό x. Που βέβαια είναι λάθος.
Φιλικά.

sholia 01.png (78.52 KiB) Προβλήθηκε 5260 φορές

Εννοείς ότι είναι σφάλμα το ότι έγινε πρώτα η παραγοντοποίηση και κατόπιν γράφτηκαν οι περιορισμοί ή κάτι άλλο;
Να παρατηρήσω ότι και στα σχολικά βιβλία τίθενται οι περιορισμοί στην αρχή και κατόπιν γίνεται έλεγχος στο τέλος. Δεν διατυπώνεται η λύση σε σύστημα με τους περιορισμούς, όπως περιγράφεις στη σελίδα 10 του φυλλαδίου σου για τη μέθοδο απόδειξης, κάτι που κάναμε κι εμείς όταν προ 35έτιας ήμασταν μαθητές και χρειαζόμασταν τρία σβησίματα του πίνακα για λύσουμε μια άσκηση. Δεν βλέπω κάτι κακό στη μέθοδο του σχολικού βιβλίου!

Όμοια και παρακάτω.
3) Στη σελίδα 100, ορισμοί ,γράφεις: «2. H εξίσωση αx+β=0, όπου τα α και β δεν είναι πραγματικοί αριθμοί, αλλά εκφράζονται με τη βοήθεια γραμμάτων…». Είσαι σίγουρος ότι θα καταλάβουν τα παιδιά τι εννοείς; Ή μήπως τα παιδιά καταλάβουν ότι τα α και β, αφού δεν είναι αριθμοί, είναι λέξεις!!!, γιατί και αυτές εκφράζονται με τη βοήθεια γραμμάτων!!!

sxolio 4.png (49.45 KiB) Προβλήθηκε 5260 φορές

Γιατί κόβεις το κείμενο στη μέση; Πώς θα καταλάβουμε τι εννοείς; Δεν νομίζω να υπάρχει κίνδυνος να μπλεχτεί κανείς. Και το σχολικό βιβλίο έτσι το γράφει και ΟΛΟΙ οι διδάσκοντες εξηγούμε στα παιδιά τι σημαίνει παράμετρος. Επίσης, αν έχεις τέτοιο φόβο, γιατί δεν αναφέρεσαι και στον κίνδυνο να εκλάβουν το α ως 1 και το β ως 2, επηρεασμένοι από το σύστημα αρίθμησης των Αρχαίων Ελλήνων;

4) Σελίδα 101. Όταν ένας μαθητής κάνει αυτά που γράφεις στην 1η ΜΕΘΟΔΟ (από β και μετά) δεν εξηγείς τι σχέση έχει η εξίσωση που προκύπτει με την προηγούμενη και γιατί. Όμοια στη σελίδα 102, 2η ΜΕΘΟΔΟ , όπως και σε όλες τις επόμενες μεθόδους.

sholio 2.png (71.15 KiB) Προβλήθηκε 5260 φορές

Δηλαδή πρέπει σε κάθε γραμμή να αναφέρει ότι η εξίσωση που προκύπτει είναι ισοδύναμη με την αρχική; Νομίζω θα το καταλάβουν όλοι, αφού ακολουθούν και λυμένα παραδείγματα. Νομίζω ότι η περιττή επανάληψη των αυτονόητων προτάσεων κουράζει.

5) Σελίδα 102. Στη λύση της άσκησης 2 , γράφεις στο γ) «Πρέπει…» και μετά συνεχίζεις με ισοδυναμίες. Τι μήνυμα περνάς στα παιδιά;

sxolio 3.png (24.91 KiB) Προβλήθηκε 5260 φορές

Αν αντί για "πρέπει" υπήρχε η λέξη "έχουμε", θα υπήρχε πρόβλημα; Ειλικρινά, σκέφτομαι να ρωτήσω μαθητές Α΄ Λυκείου για το αν δέχτηκαν κανένα επικίνδυνο μήνυμα από στην παραπάνω διατύπωση.

Γνώμη μου είναι ότι οι παρατηρήσεις είναι αυστηρές και δεν αφορούν την ουσία του περιεχομένου του βιβλίου του Λευτέρη.

Γιώργος Ρίζος

[Κοτρώνης Αναστάσιος]

Λευτέρη σε ευχαριστούμε θερμά!

[Πρωτοπαπάς Λευτέρης]

Έχοντας ετοιμάσειτην τοποθέτησή μου στα παραπάνω θέματα που έθεσε ο κος Αντώνης, είδα την τοποθέτηση του Γιώργου (Rigio). Γιώργο σε ευχαριστώ που μπήκες στον κόπο. Παραθέτω ακολούθως την τοποθέτησή μου.

Κύριε Αντώνη,

η κριτική είναι ευπρόσδεκτη από όλους. Πόσο περισσότερο από έναν άνθρωπο σαν και εσάς που έχετε διαγράψει τη δική σας λαμπρή πορεία στο χώρο είναι για εμάς ευτυχία και μας δίνει κίνητρο να βελτιωθούμε και να βελτιώσουμε περαιτέρω τη δουλειά μας. Θα προσπαθήσω να σας δώσω τις θέσεις μας όσο πιο λιτά και κατατοπιστικά μπορώ.

1.Σαφώς και θα μπορούσαμε να βάλουμε τον ορισμό της εξίσωσης 1ου βαθμού. Βέβαια, οι μαθητές ακούν τον ορισμό αυτό για 3 συναπτά έτη (Σχολικό βιβλίο Α΄ Γυμνασίου σελίδα 73, σχολικό βιβλίο Β΄ Γυμνασίου σελίδα 17, σχολικό βιβλίο Γ΄ Γυμνασίου σελίδα 86). Επιπλέον, αν κάποιος μαθητής είναι «πιστός ακόλουθός μου» θα βρει τους αντίστοιχους ορισμούς στα αντίστοιχα βοηθήματά μου του Γυμνασίου. Και θα μου πείτε: «Ας τον ξαναδούν. Τι βλάπτει;». Με το σκεπτικό αυτό όμως φανταστείτε τον όγκο ενός βοηθήματος (έχω στο μυαλό μου την Γ΄ Λυκείου) που θα πρέπει να επεξηγεί αναλυτικά κάθε τι που εμφανίζεται και είναι γνώση περασμένης τάξης. Από όσο γνωρίζω τα «ογκοδέστερα» βοηθήματα Μαθηματικών κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου είναι 4 τόμοι. Θα θέλαμε έναν τόμο τουλάχιστον για να γίνει αυτό που λέτε. Είστε στον συγγραφικό χώρο και γνωρίζετε πόσο σημαντικό είναι να είναι κάποιος ακριβής και λιτός.

2.Για να απαντήσουμε στο ερώτημά σας, θα φέρω ένα παράδειγμα: Όταν οι μαθητές πρωτομαθαίνουν παραγοντοποίηση στηρίζονται πάνω στην επιμεριστική ιδιότητα: α(β + γ) = αβ + αγ. Στα παραδείγματα που κάνουν το α δεν είναι απαραίτητο να είναι ένας μόνο αριθμός ή μία μόνο μεταβλητή. Καταργείται έτσι η επιμεριστική ιδιότητα; Το ίδιο συμβαίνει για όλες τις ιδιότητες που εκφράζονται με την βοήθεια μεταβλητών.

3. Για να γράψουμε με αυστηρά μαθηματικά την έννοια της παραμετρικής εξίσωσης θα έπρεπε να γράψουμε είτε f(λ)x = g(λ) για παραμετρική εξίσωση με μία παράμετρο λ, είτε f(λ1, λ2, λ3, … λν)x = g(λ1, λ2, λ3, … λν) για ν παραμέτρους. Τι είναι πιο κατανοητό αυτό που γράψαμε ή αυτό που θα έπρεπε να γράψουμε; Όπως σωστά επισημάνατε στόχος είναι να καταλαβαίνει ο μαθητής, χωρίς να γράφουμε ανακρίβειες ή μισές αλήθειες. Τέλος τον ορισμό της παραμετρικής εξίσωσης, συνοδεύει ένα παράδειγμα που νομίζω ότι έτσι και αλλιώς ξεκαθαρίζει τα πράγματα.

4.Οι μορφές που αναφέρεστε είναι προφανώς ισοδύναμες. Στην μέθοδο δεν αναφέρεται, αλλά η χρήση του συμβόλου της ισοδυναμίας στα λυμένα παραδείγματα νομίζω ότι περνάει το μήνυμα.

5.Το μήνυμα που περνάμε είναι ότι για να ορίζεται η εξίσωση πρέπει να ισχύουν οι περιορισμοί αυτοί. Στη συνέχεια με δεδομένη την ισχύ των περιορισμών λύνουμε την εξίσωση με ισοδυναμίες, όπως οφείλουμε.

6. Στην σελίδα 102 στην 2η μέθοδο το α) βήμα δηλώνει ότι πρέπει να παραγοντοποιήσουμε τους παρανομαστές. Αυτό γνωρίζουμε ότι μας δίνει ισοδύναμη μορφή. Στο α) βήμα δεν αναφέρεται τίποτε άλλο, ούτε απλοποίηση, ούτε κάποια άλλη πράξη. Έτσι διατηρούμε την ισοδυναμία των εξισώσεων και βέβαια την ορθότητα της λύσης.

Φιλικά,

Λευτέρης - Ρίκα

[nonlinear]

κ.Πρωτόπαππα ευχαριστούμε και καλή (εμπορική) επιτυχία.

[Α.Κυριακόπουλος]

Αγαπητέ Γιώργο(Ρίζο).
• Τα μαθηματικά δεν είναι ιδιοκτησία κανενός. Σε ένα δημοσιευμένο μαθηματικό κείμενο, είτε είσαι υποχρεωμένος να το διδάξεις, είτε όχι, ο καθένας είναι ελεύθερος να κάνει κριτική, χωρίς να ρωτήσει κανέναν. Το «ανάχωμα» για την κριτική είναι ότι και ο κρίνων κρίνεται.
• Εγώ έγραψα τη γνώμη μου και είμαι υπεύθυνος για αυτά που γράφω. Αλλά γιατί δεν γράφεις και εσύ την δική σου κριτική;
• Αν μια εξίσωση είναι μια ισότητα, όπως γράφουν εκεί που παραπέμπεις, τότε η έννοια της εξίσωσης δεν είναι καινούργια και δεν υπάρχει λόγος να τις λέμε εξισώσεις!!! Ένα βοήθημα για τους μαθητές ,για να έχει λόγο ύπαρξης, πρέπει να διορθώνει τα λάθη του σχολικού βιβλίου και όχι να τα επικαλείται για να αποδείξει την ορθότητα αυτών που γράφει.
• Γράφεις: «Εννοείς ότι είναι σφάλμα το ότι έγινε πρώτα η παραγοντοποίηση και κατόπιν γράφτηκαν οι περιορισμοί ή κάτι άλλο;». Εννοώ ακριβώς ότι: Η επίλυση μιας εξίσωσης αρχίζει με την εύρεση του συνόλου ορισμού της εξίσωσης αυτής. Αν όμως δεν αναφέρουμε τίποτα, ρητά εννοούμε( στην Α΄ τάξη του λυκείου) ότι είναι το R.
• Η κριτική σε ένα επιστημονικό κείμενο δεν θίγει τον συγγραφέα του κείμενου. Αν ένας θίγεται από τις κριτικές, ας μην κάνει δημοσιεύσεις. Οι κριτικές, όποιες και να είναι αυτές , πρέπει να είναι πάντοτε ευπρόσδεκτες από τον συγγραφέα. Εγώ τις σκληρότερες κριτικές της έχω κάνει σε φίλους μου. Και αντιστρόφως. Τις σκληρότερες κριτικές της έχω δεχθεί από φίλους μου( εκ των οποίων ένας είναι ο κ. Γιώργος Τασσόπουλος) . Οι περισσότεροι από τη συγγραφική ομάδα του βιβλίου της Άλγεβρας της Α΄ τάξης του Λυκείου είναι φίλοι μου, από πολλά χρόνια. Και όμως γνωρίζεις τι έχω γράψει για το βιβλίο αυτό. Όχι μόνο δεν παρεξηγήθηκαν, αλλά ένας από αυτούς μου έδωσε και δημόσια συγχαρητήρια για την κριτική μου στο βιβλίο αυτό.
• Σου συνιστώ να μην ρωτήσεις τους μαθητές αν δέχτηκαν λανθασμένα μηνύματα, γιατί οι μαθητές δεν έχουν τις γνώσεις για να είναι σε θέση να τα «φιλτράρουν» και να τα αναγνωρίσουν.
• Έχω τη γνώμη ότι ο χώρος του mathematica δεν είναι για να «χαϊδεύει» ο ένας τον άλλον. Είναι για να γράφει ο καθένας ελεύθερα τη γνώμη του στα μαθηματικά, να κάνει κριτικές, να δέχεται κριτικές, ώστε μέσα από όλα αυτά να βελτιωνόμαστε και να γινόμαστε συνεχώς καλύτεροι. Αυτό έκανα και αυτό θα εξακολουθήσω να κάνω. Και κάτι τελευταίο:
Η ΗΘΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΝΑΙ Η ΑΛΗΘΕΙΑ.
Φιλικά.

Υ.Γ.
Είχα γράψει το παραπάνω κείμενο όταν είδα την απάντηση του Λευτέρη.
•Λευτέρη σε κατανοώ. Σκοπός της κριτικής μου είναι να είμαστε περισσότερο προσεκτικοί σε ορισμένα σημεία για να είμαστε και περισσότερο αποτελεσματικοί. Δεν είπα ότι το κεφάλαιο αυτό είναι για πέταμα. Αυτό που ήθελα να πω είναι ότι υπάρχει έντονο το στοιχείο του μηχανικού τρόπου επίλυσης των εξισώσεων. Έχει και αυτό την αξία του, αλλά μετά την πλήρη κατανόηση της θεωρίας. Είμαι σίγουρος ότι συμφωνείς.
•Την κριτική την έκανα για να βοηθήσω. Και χαίρομαι που στο μήνυμά σου, αυτό αφήνεις να υπονοηθεί. Είναι προς τιμή σου. Μερικοί το παρεξήγησαν. Δεν πειράζει. Νομίζω ότι αυτοί που σου λένε ότι «όλα είναι εντάξει» δεν σε βοηθάνε σε τίποτα.
• Καλή επιτυχία στο νέο σου βιβλίο. Και επειδή είσαι καλός μαθηματικός και δραστήριος περιμένω να δω και άλλα σου βιβλία.
Με εκτίμηση και αγάπη.

[Πρωτοπαπάς Λευτέρης]

Όπως είχα υποσχεθεί,

το ανεβάζω και σε word.

[Μάκης Χατζόπουλος]

Λευτέρη σου αξίζουν πολλά μπράβο, λίγοι θα το έκαναν αυτό (ίσως ούτε και εγώ!!)! Είναι προς τιμήν σου!

[Ευσταθίου Μαρία]

Αγαπητοί Συνάδελφοι,

θα ήθελα και εγώ, με τη σειρά μου, να σας εκφράσω τις ευχαριστίες μου για τα καλά σας σχόλια, που επιβραβεύουν την κοινή μας προσπάθεια με το Λευτέρη Πρωτοπαπά στο νέο βιβλίο Αλγεβρας της Α' λυκείου.

Με τιμή
Μ. Ευσταθίου