παρακαλώ βοηθείστε

apotin · #1

Θα ήθελα τη βοήθειά σας στην παρακάτω άσκηση.
Να εκφραστούν συναρτήσει των a, b οι x, y όταν:

$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} x^3 - a^3 = 3xy^2 - 3ab^2 \\ y^3 - b^3 = 3x^2 y - 3a^2 b \\ \end{array} \right. }$

Σ.Σ. Προφανής λύση x=a και y=b.
Ευχαριστώ.

APO · #2

πρόσθεσε και μετά αφαίρεσε κατά μέλη τις δυο σχέσεις

apotin · #3

APO έγραψε:πρόσθεσε και μετά αφαίρεσε κατά μέλη τις δυο σχέσεις

Το έχω κάνει αλλά ...

APO · #4

θυμήσου χ^3 -y^3= (x-y)^3+3xy(x-y)

apotin · #5

APO έγραψε:θυμήσου χ^3 -y^3= (x-y)^3+3xy(x-y)

Πρόσεξε λίγο τα πρόσημα

Eukleidis · #6

Αλλη μια ξεχασμένη από το οπερ εδει δείξαι.

#7

apotin έγραψε:Θα ήθελα τη βοήθειά σας στην παρακάτω άσκηση.
Να εκφραστούν συναρτήσει των a, b οι x, y όταν:

$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} x^3 - a^3 = 3xy^2 - 3ab^2 \\ y^3 - b^3 = 3x^2 y - 3a^2 b \\ \end{array} \right. }$

Σ.Σ. Προφανής λύση x=a και y=b.
Ευχαριστώ.

Υπάρχουν και άλλες, μη προφανείς, λύσεις, όταν για παράδειγμα a=1

,

τότε

και

-- ακριβέστερα, $x=-(\frac{1-\sqrt{3}}{2})$ και $y=-(\frac{1+\sqrt{3}}{2})$

Γιώργος Μπαλόγλου

#8

Διέγραψα μια λύση που έδωσα λόγω μη πλήρους διερεύνισης.
Αν δεν δοθεί λύση στο θέμα, θα την ξαναγράψω με όλη την διερεύνιση που νομίζω έχει λίγο "φασαρία"

#9

Νομίζω ότι προσπάθεια λύσης με κλασικό τρόπο (ύλη Α Λυκείου) είνα άσκοπη, αφού οι πράξεις είναι υπερβολικές. Μας έχει καλύψει ως προς την λύση ο Νίκος.
(Πάντως, αφιέρωσα πολλές ώρες να βρω κλασική λύση, αλλά χάθηκα στις διαδικασίες

)

#10

Μια αντιμετώπιση, η οποία όμως χρησιμοποιεί ύλη της κατεύθυνσης της Γ' τάξης, μπορούμε να έχουμε αν παρατηρήσουμε πως
οι δοθείσες σχέσεις ισοδυναμούν με την
$\left( x+yi\right) ^{3}=\left( a+bi\right) ^{3}$
Αν μεν τα

,

είναι και τα δύο μηδέν τότε x=y=0

. Αν όχι η παραπάνω σχέση ισοδυναμεί με την
$\left( \frac{x+yi}{a+bi}\right) ^{2}=1$
δηλαδή το $\frac{x+yi}{a+bi}$ είναι κάποια από τις ρίζες της $u^{3}=1$ δηλαδή κάποιος από τους αριθμούς $1,\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$ . 'Αρα x=a, y=b

ή $x=-\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}b\sqrt{3},y=\allowbreak \frac{1}{2}a\sqrt{3}-\frac{1}{2}b$ ή $x=-\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b\sqrt{3},y=\allowbreak -\frac{1}{2}a\sqrt{3}-\frac{1}{2}b$ .
Μαυρογιάννης

nikoszan · #11

H λυση του Νικου ειναι πολυ ωραια και ακριβως στο πνευμα της κατασκευης της ασκησης.
[σημ.πρεπει να τονιστει οτι οι x,y,a,b ειναι πραγματικοι]
Καλο ΠΑΣΧΑ.
Ν.Ζ.

#12

Μετά από την πολύ ωραία λύση του Νίκου, πιστεύω ότι ο τρόπος που πήγα να την λύσω παραπάνω (με κλασικό τρόπο) με έκανε να χαθώ στις πράξεις (και μάλλον θα υπάρχουν και λάθη).

#13

Χριστός Ανέστη
O Δημήτρης είχε ανεβάσει μία λύση χωρίς μιγαδικούς την οποία απέσυρε.
Επειδή θεωρώ ότι η λύση ήταν σωστή αλλά και χρήσιμη κάνω μία προσπάθεια ανακατασκευής της.
Ας ονομάσουμε
$f\left( x\right) =x^{3}-a^{3}-\left( 3xy^{2}-3ab^{2}\right)$
$g\left( x\right) =y^{3}-b^{3}-\left( 3x^{2}y-3a^{2}b\right)$
ο Δημήτρης έκανε την αντικατάσταση:
y=kx

που είναι μία τυπική αντικατάσταση στα λεγόμενα ομογενή συστήματα. Έχουμε
$f\left( x\right) =\allowbreak \left( 1-3k^{2}\right) x^{3}+\left( 3ab^{2}-a^{3}\right)$
$g\left( x\right) =\allowbreak \left( k^{3}-3k\right) x^{3}+\left( 3a^{2}b-b^{3}\right)$
θα πρέπει τα f(x),g(x)

να έχουν κοινή ρίζα η οποία θα είναι λύση και οποιουδήποτε γραμμικού συνδυασμού τους. Θεωρούμε ένα κατάλληλο για να απαλείψουμε τους κύβους:
$f\left( x\right) \allowbreak \left( k^{3}-3k\right) -\left( 1-3k^{2}\right) g\left( x\right) =\allowbreak \left( 3ab^{2}-a^{3}\right) k^{3}+\left( 9a^{2}b-3b^{3}\right) k^{2}+\left( 3a^{3}-9ab^{2}\right) \allowbreak k+\left( b^{3}-3a^{2}b\right)$
ο οποίος θα πρέπει να έχει ρίζα ως προς x και επομένως θα πρέπει να είναι μηδέν.
Ας ονομάσουμε
$r\left( k\right) \allowbreak =\left( 3ab^{2}-a^{3}\right) k^{3}+\left( 9a^{2}b-3b^{3}\right) k^{2}+\left( 3a^{3}-9ab^{2}\right) \allowbreak k+\left( b^{3}-3a^{2}b\right)$
Πρέπει να βρούμε τις ρίζες του r(k)

. Επειδή το αρχικό σύστημα είχε την προφανή λύση
x=a,y=b

θα πρέπει μία τιμή του

να είναι ο αριθμός $\frac{b}{a}$ . Αυτό επαληθεύεται με το σχήμα του Horner και βρίσκουμε την παραγοντοποίηση
$r\left( k\right) =\allowbreak \left( b-ak\right) \left( \allowbreak \left( a^{2}-3b^{2}\right) k^{2}+\left( -8ab\right) k+\left( b^{2}-3a^{2}\right) \right)$
Βρίσκουμε τις ρίζες του
$\left( a^{2}-3b^{2}\right) k^{2}+\left( -8ab\right) k+\left( b^{2}-3a^{2}\right)$
που είναι οι
$\frac{\sqrt{3}a^{2}+\sqrt{3}b^{2}-4ab}{3b^{2}-a^{2}},-\frac{\sqrt{3}a^{2}+\sqrt{3}b^{2}+4ab}{3b^{2}-a^{2}}$
Μπορούμε να προχωρήσουμε σε απλοποιήσεις αν θεωρήσουμε τους όρους των κλασμάτων τριώνυμα ως προς

$\frac{\sqrt{3}a^{2}+\sqrt{3}b^{2}-4ab}{3b^{2}-a^{2}}=\frac{\sqrt{3}\left( b-\sqrt{3}a\right) \left( b-\frac{1}{3}\sqrt{3}a\right) }{3\left( b+\frac{1}{3}\sqrt{3}a\right) \left( b-\frac{1}{3}\sqrt{3}a\right) }$ $=\frac{\sqrt{3}\left( b-\sqrt{3}a\right) }{3\left( b+\frac{1}{3}\sqrt{3}a\right) }=\frac{\sqrt{3}\left( b-\sqrt{3}a\right) }{3b+\sqrt{3}a}=\frac{\sqrt{3}\left( b-\sqrt{3}a\right) }{\sqrt{3}\left( \sqrt{3}b+a\right) }=\frac{b-\sqrt{3}a}{\sqrt{3}b+a}$
$-\frac{\sqrt{3}a^{2}+\sqrt{3}b^{2}+4ab}{3b^{2}-a^{2}}=-\frac{\sqrt{3}\left( b+\sqrt{3}a\right) \left( b+\frac{1}{3}\sqrt{3}a\right) }{3\left( b+\frac{1}{3}\sqrt{3}a\right) \left( b-\frac{1}{3}\sqrt{3}a\right) }=-\frac{\sqrt{3}\left( b+\sqrt{3}a\right) }{3\left( b-\frac{1}{3}\sqrt{3}a\right) }=-\frac{b+\sqrt{3}a}{\sqrt{3}b-a}$
Eπομένως $k=\frac{b-\sqrt{3}a}{\sqrt{3}b+a}$ ή $k=-\frac{b+\sqrt{3}a}{\sqrt{3}b-a}$
και επιστρέφοντας στο f(x)

θα έχουμε:
ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 $k=\frac{b-\sqrt{3}a}{\sqrt{3}b+a}$
$f\left( x\right) =0\Leftrightarrow \left( 1-3k^{2}\right) x^{3}+\left( 3ab^{2}-a^{3}\right) =0\,\Leftrightarrow$
$\left( 1-3k^{2}\right) x^{3}=\left( a^{3}-3ab^{2}\right) \Leftrightarrow$
$x^{3}=\frac{a^{3}-3ab^{2}}{1-3k^{2}}\Leftrightarrow x^{3}=\frac{a^{3}-3ab^{2}}{-8a\frac{a-\sqrt{3}b}{\left( a+\sqrt{3}b\right) ^{2}}}\Leftrightarrow x^{3}=\frac{\left( a-\sqrt{3}b\right) \left( a+\sqrt{3}b\right) }{-8a\frac{a-\sqrt{3}b}{\left( a+\sqrt{3}b\right) ^{2}}}\Leftrightarrow x^{3}=-\frac{\left( \sqrt{3}b+a\right) ^{3}}{8}\Leftrightarrow x=-\frac{\sqrt{3}b+a}{2}$
ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 $k=-\frac{b+\sqrt{3}a}{\sqrt{3}b-a}$
$f\left( x\right) =0\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow x^{3}=\allowbreak \frac{\left( \sqrt{3}b-a\right) ^{3}}{8}\Leftrightarrow x=\allowbreak \frac{\sqrt{3}b-a}{2}$
'Oλα αυτά υπό την προϋπόθεση ότι $x\neq 0,a^{2}\neq 3b^{2},a\neq 0$ . Οι περιπτώσεις αυτές διερυνώνται εύκολα και τις παραλείπω
Μαυρογιάννης

ΥΓ Το θέμα αρχικά τοποθετήθηκε στην Α' Τάξη. Το μεταφέρω στην Β' Τάξη μιας και επιδέχεται λύση με πολυωνυμικές εξισώσεις.

παρακαλώ βοηθείστε

παρακαλώ βοηθείστε

Re: παρακαλώ βοηθείστε

Re: παρακαλώ βοηθείστε

Re: παρακαλώ βοηθείστε

Re: παρακαλώ βοηθείστε

Re: παρακαλώ βοηθείστε

Re: παρακαλώ βοηθείστε

Re: παρακαλώ βοηθείστε

Re: παρακαλώ βοηθείστε

Re: παρακαλώ βοηθείστε

Re: παρακαλώ βοηθείστε

Re: παρακαλώ βοηθείστε

Re: παρακαλώ βοηθείστε

Μέλη σε σύνδεση