Aνισότητα με διαμέσους τριγώνου.

#1

Έστω τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ με διαμέσους $\displaystyle{m_{a},m_{b},m_{c}}$ και $\displaystyle{r}$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου. Αποδείξτε ότι

$\displaystyle{m_{a}+m_{b}+m_{c}\geq 6r\left(\frac{m_{a}}{m_{b}+m_{c}}+\frac{m_{b}}{m_{c}+m_{a}}+\frac{m_{c}}{m_{a}+m_{b}} \right).}$

#2

Είναι καιρό αναπάντητη.

Το πρόβλημα αυτό είναι το L160 από το ρουμάνικο περιοδικό RECREAŢII MATEMATICE. Στο προτελευταίο τεύχος του περιοδικού, παρουσιάστηκε μία λύση, η οποία βασίζεται στην παρακάτω ανισότητα που είχε τεθεί σε TST του Vietnam το 2006.

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{a,b,c}$ μήκη πλευρών τριγώνου, ισχύει

$\displaystyle{(a+b+c)\Big(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Big)\geq 6\Big(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\Big).}$

Απόδειξη αυτής, με χρήση της μεθόδου SOS, μπορεί να δει κανείς στο βιβλίο του Vasile Cirtoaje, Algebraic Inequalities, Old and New Methods, GIL, σελίδα 442.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Παραθέτω μία διαφορετική λύση:

Με χρήση του μετασχηματισμού της διαμέσου, είναι αρκετό να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{m_{a}+m_{b}+m_{c}\geq 6r\Big(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\Big)}$

Είναι γνωστό ότι ισχύει $\displaystyle{m_{a}+m_{b}+m_{c}\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{2R},}$ οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{a^2+b^2+c^2\geq 12Rr\Big(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\Big)}$

ή, πολλαπλασιάζοντας τα μέλη αυτής με $\displaystyle{a+b+c=2s}$

ότι

$\displaystyle{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geq 6abc\Big(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\Big)}$ . (1)

Μάλιστα, θα αποδείξουμε ότι η (1) ισχύει για τυχόντες $\displaystyle{a,b,c>0.}$

Πράγματι, με εφαρμογή της προφανούς ανισότητας $\displaystyle{\frac{xy}{x+y}\leq \frac{x+y}{4}}$ , έχουμε

$\displaystyle{6abc\Big(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\Big)=6\Big[a^2\frac{bc}{b+c}+b^2\frac{ca}{c+a}+c^2\frac{ab}{a+b}\Big]\leq 6\Big(a^2\frac{b+c}{4}+b^2\frac{c+a}{4}+c^2\frac{a+b}{4}\Big)=\frac{3}{2}[a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)].}$

Αρκεί τώρα, να ισχύει

$\displaystyle{2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geq 3[a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)]}$

ή αλλιώς ότι

$\displaystyle{2(a^3+b^3+c^3)\geq a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b).}$

Αυτή όμως, προκύπτει π.χ.από την ανισότητα της αναδιάταξης ως εξής:

$\displaystyle{2(a^3+b^3+c^3)=(a^3+b^3+c^3)+(a^3+b^3+c^3)\geq (a^2b+b^2c+c^2a)+(ab^2+bc^2+ca^2)=a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)}$ .

Case · #3

Συγγνώμη, ποιος είναι ο μετασχηματισμός της διαμέσου;

#4

Case έγραψε:Συγγνώμη, ποιος είναι ο μετασχηματισμός της διαμέσου;

Ρίξε μια ματιά εδώ και εδώ.

Aνισότητα με διαμέσους τριγώνου.

Aνισότητα με διαμέσους τριγώνου.

Re: Aνισότητα με διαμέσους τριγώνου.

Re: Aνισότητα με διαμέσους τριγώνου.

Re: Aνισότητα με διαμέσους τριγώνου.

Μέλη σε σύνδεση