Υπήρξε λάθος κατά τη μεταφορά σε Latex, με αποτέλεσμα να λείπουν ορισμένα(κρίσιμα) ριζικά στην εκφώνηση και την λύση. Η ανάρτηση διορθώθηκε για να βγάζει νόημα. Ευχαριστώ για την έγκαιρη παρατήρηση

Πρόταση
Ένας ακέραιος αριθμός $\alpha \geq 2$ είναι πρώτος αν δεν διαιρείται με κανέναν πρώτο ακέραιο αριθμό $\rho$ με $\rho \leq \sqrt{\alpha}$.

Απόδειξη
Έστω $A$ το σύνολο των πρώτων ακέραιων αριθμών $\rho$ με $\rho \leq \sqrt{\alpha}$, που δεν διαιρούν το $\alpha$.

Για τους ακέραιους που ...

Με το συνάδελφο Ευρυπίδη Κασσέτα παρουσιάζουμε 4 απλές προτάσεις της Θεωρίας Αριθμών με τις αποδείξεις τους.
1. Το γινόμενο 3 διαδοχικών ακεραίων αριθμών διαιρείται πάντα με το 3.
2. Το γινόμενο ν διαδοχικών ακεραίων αριθμών διαιρείται πάντα με το ν.
3. Κάθε πρώτος αριθμός διάφορος του 2 και του 3 ...

I) Γνωστά προβλήματα (Να μη λυθούν)

1) Ένας πατέρας μοίρασε όλα τα μαργαριτάρια του στις κόρες του ως εξής: η πρώτη κόρη παίρνει 1 μαργαριτάρι και το $\frac{1}{7}$ των υπολοίπων.
Η δεύτερη κόρη παίρνει δυο μαργαριτάρια και το $\frac{1}{7}$ των υπολοίπων.
Η τρίτη κόρη παίρνει τρία μαργαριτάρια και ...

Με τον συνάδελφο Ευριπίδη Κασσέτα επιλέξαμε τις παρακάτω ασκήσεις:

1) Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης:

$\displaystyle{10y^2+2xy+x+y-2=0}$ (1)

2) Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης:

$\displaystyle{3y^2-6xy+12x-7y+2=0}$(1)

3) Να βρεθούν οι τιμές του $x \in Z$, για τις οποίες η ...

Με το συνάδελφο Μαθηματικό Ευριπίδη Κασσέτα διαλέξαμε και παρουσιάζουμε μια ομάδα (13) Άρρητων Εξισώσεων, απευθυνόμενοι σε συναδέλφους και μαθητές, επειδή στα τελευταία Σχολικά Βιβλία περιέχονται μόνο οι πολύ απλές μορφές.
Στην πρώτη άσκηση θα επιμείνουμε σχολαστικά στους περιορισμούς, ώστε να ...

Επίλυση γραμμικού συστήματος εξισώσεων 3x3
Ένας άλλος (ανορθόδοξος) τρόπος επίλυσης

1) Να λυθεί το σύστημα εξισώσεων:
$\begin{cases} 2\chi -y + z = -1 \quad \quad(1) & \\ \chi - y + 2z = -3 \quad \quad (2) & \\ \chi + y - 2z = 1 \quad \quad \quad (3) \end{cases}$

Λύση
Μεταξύ των (1), (2 ...

Με το συνάδελφο Μαθηματικό Ευριπίδη Κασσέτα διαλέξαμε και παρουσιάζουμε μια ομάδα (13) Άρρητων Εξισώσεων, απευθυνόμενοι σε συναδέλφους και μαθητές, επειδή στα τελευταία Σχολικά Βιβλία περιέχονται μόνο οι πολύ απλές μορφές.
Στην πρώτη άσκηση θα επιμείνουμε σχολαστικά στους περιορισμούς, ώστε να ...

1) Απόδειξη
Γνωρίζουμε ότι:
$\mid \alpha + \beta \mid \leq \mid \alpha \mid + \mid \beta \mid, \mid \beta + \gamma \mid \leq \mid \beta \mid + \mid \gamma \mid, \mid \gamma + \alpha \mid \leq \mid \gamma \mid + \mid \alpha \mid \Rightarrow$
$\frac{1}{\mid \alpha + \beta \mid} \geq \frac{1}{\mid ...

1) Να δειχθεί ότι για $\alpha, \beta, \gamma \in R^+$ ισχύει:

$\frac{1}{\mid \alpha + \beta \mid} + \frac{1}{\mid \beta + \gamma \mid} + \frac{1}{\mid \gamma + \alpha \mid} \geq \frac{9}{2}\frac{1}{\mid \alpha \mid + \mid \beta \mid + \mid \gamma \mid}$

2) Αν $x_1, x_2, ..., x_{\nu} >0$ και ...

1) Να δειχθεί ότι: $2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cdot \cdot (2 \nu)<(\nu+1)^\nu$, όπου $\nu>1$ και $\nu \in N$.

Απόδειξη:

Βάσει της $(\frac{\alpha + \beta}{2})^2 \geq \alpha \beta$ έχουμε:

$2 \cdot 2 \nu<(\frac{2+2\nu}{2})^2=(\nu+1)^2$

$4\cdot (2\nu-2)<(\frac{4+2\nu-2}{2})^2=(\nu+1)^2$

$6 ...

Συμπλήρωση στην απόδειξη Cauchy (Από Αλγεβρικά Θέματα Π. Μάγειρα)

Στην παραπάνω ανάρτηση χρησιμοποίησα την πρόταση: "από γνωστή ιδιότητα συνεπάγεται".

Επειδή είχα μερικά προσωπικά μηνύματα για την εν λόγω ιδιότητα, την παρουσιάζω εδώ ως:

Λήμμα

Αν $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_\nu, \alpha ...

4η Απόδειξη Ανισότητας Cauchy
(Ι) $\frac{\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_\nu}{\nu}\geq \sqrt[\nu]{\alpha_1\alpha_2...\alpha_\nu} \quad \forall \ \alpha_i>0, i=1, 2, ..., \nu$

Εδώ παρουσιάζω αποδείξεις, το περιεχόμενο των οποίων κατά 95% είναι στη διδασκόμενη ύλη του Λυκείου.

Για την παρακάτω ...

Αλγεβρική απόδειξη ότι το 641/F5 & Θεώρημα Gauss για τα κανονικά πολύγωνα

Ι. Εικασία Fermat (1601-1665)

Ο Fermat είχε ισχυρισθεί το 1640 ότι οι αριθμοί $F_\nu=2^{2^{\nu}}+1 (\nu \in N)$ "αριθμοί Fermat" είναι πρώτοι αριθμοί (πλάνη Fermat).

Η εικασία Fermat ισχύει για τους αριθμούς $F_0, F_1 ...

Λύσεις στις ασκήσεις στην Ανισότητα Cauchy
Αν $\nu \in N, \nu \geq 2$ και $x_1, x_2, ..., x_\nu \in R_*^+$, τότε: $\frac{x_1+x_2+...+x_\nu}{\nu}\geq \sqrt[\nu]{x_1\cdot x_2\cdot \cdot \cdot x_\nu} \geq \frac{\nu}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_\nu}}$ (ανισότητα Cauchy)

1) Αν $\frac ...

Προσοχή στα τυπογραφικά σφάλματα εδώ:



$\underbrace{\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_\nu}_{\text{A}} \geq \underbrace{\sqrt[\nu]\alpha_1\cdot\alpha_2\cdot...\cdot\alpha_\nu}}_{\text{G}}$, με $\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_\nu >0$

Προς αποφυγήν παρεξηγήσεων ας προσθέσω ότι υπάρχουν δεκάδες και ...

Μια απλή προσέγγιση της δημιουργίας του υπερβατικού αριθμού για τους μαθητές Λυκείου: $e=\displaystyle{\lim_{\nu \to +\infty}(1+\frac{1}{\nu})^\nu}$

Ο τύπος του ανατοκισμού $A=P(1+\frac{R}{n})^n$, όπου $A$ το κεφάλαιο που θα πάρουμε, $P$ το αρχικό κεφάλαιο, $R$ το επιτόκιο, $n$ ο αριθμός των ...

Γεωμετρική απόδειξη ανισότητας Cauchy για 2 ευθύγραμμα τμήματα από το σχ. βιβλίο Ι.Πανάκη, 1968

ΠΡΟΒΛΗΜΑ
Δίνονται δύο ευθύγραμμα τμήματα $\alpha$ και $\beta$, με $\beta>\alpha$ και ζητείται να κατασκευαστούν τα ευθύγραμμα τμήματα $x, y, \omega$, ώστε:
$x=\frac{\alpha+\beta}{2} \quad(1), \qquad ...

Απόδειξη ανισότητας Cauchy από το βιβλίο: Αλγεβρικά θέματα, Παν. Μάγειρα, Τόμος 5ος, 1974

Με $\alpha_1, \alpha_2, ... \alpha_\nu >0$, να δείξετε ότι:

$\forall \nu \in N: \frac{\alpha_1+\alpha_2+....+\alpha_\nu}{\nu} \geq \sqrt[\nu]{\alpha_1\alpha_2...\alpha_\nu}$ (1)

Λύση

Αν θέσουμε ...

Ο Σύμβουλος Μαθηματικών Ευάγγελος Παναγιώτου μου έδωσε την παρακάτω απόδειξη της ανισότητας Cauchy, από το περιοδικό της Μαθηματικής Εταιρείας της Αμερικής, "The College Mathematics Journal".

$\underbrace{\frac{{\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_\nu}}{\nu}}_{\text{A}} \geq \underbrace{\sqrt[\nu]{\alpha ...