Δεν είμαι Γ’ Λυκείου αλλά θεωρώ πως εάν μία συνάρτηση είναι σταθερή
π.χ. $f(x) = c$ για κάποιο $c \in \mathbb{R}$ και έχει
$A_f = [a,b]$ δεν είναι λάθος να πεις ότι το σύνολο τιμών της είναι
$[c, c]$, δηλαδή $m = M = c$.

Ισχύει εξάλλου $c \geq f(x) \geq c \iff f(x) = c$.

Μπορεί βέβαια να κάνω ...

Ένα κλασικό θέμα στο θεώρημα του Fermat...........................

Το ρωτάω διότι έχω δει σε βιβλία και τις δύο λύσεις , π.χ. στο βιβλίο των Στεργίου - Νάκη διευκρινίζεται σαφώς ότι πρέπει να γίνει η επαλήθευση. Σε άλλα πάλι όχι. Επίσης υπάρχει διαφωνία στο σχολείο σχεδόν κάθε χρόνο, του ...

Κύριε Μπάμπη, ο Λευτέρης σωστά τα είπε. Εγώ ζήτησα τη διευκρίνηση και το αρχικό "μπέρδεμα" προέκυψε από το βιβλίο του Παπαδάκη που ζητάει απόδειξη και κάνει επαλήθευση.


Ευχαριστώ!


Να είσαι καλά !

Θα δω τα μηνύματα από την αρχή, για να μην μείνουν απορίες!

ΚΑΛΟ ΜΗΝΑ !!!

Καλό ...

Κύριε Μπάμπη, ο Λευτέρης σωστά τα είπε. Εγώ ζήτησα τη διευκρίνηση και το αρχικό "μπέρδεμα" προέκυψε από το βιβλίο του Παπαδάκη που ζητάει απόδειξη και κάνει επαλήθευση.


Ευχαριστώ!


Να είσαι καλά !

Θα δω τα μηνύματα από την αρχή, για να μην μείνουν απορίες!

ΚΑΛΟ ΜΗΝΑ !!!

Καλό μήνα!!

Ένα κλασικό θέμα στο θεώρημα του Fermat...........................

Το ρωτάω διότι έχω δει σε βιβλία και τις δύο λύσεις , π.χ. στο βιβλίο των Στεργίου - Νάκη διευκρινίζεται σαφώς ότι πρέπει να γίνει η επαλήθευση. Σε άλλα πάλι όχι. Επίσης υπάρχει διαφωνία στο σχολείο σχεδόν κάθε χρόνο, του τύπου ...

math8000 έγραψε: Παρ Μάιος 01, 2026 8:59 pm Κύριε Μπάμπη, ο Λευτέρης σωστά τα είπε. Εγώ ζήτησα τη διευκρίνηση και το αρχικό "μπέρδεμα" προέκυψε από το βιβλίο του Παπαδάκη που ζητάει απόδειξη και κάνει επαλήθευση.

Ευχαριστώ!

math8000 έγραψε: Παρ Μάιος 01, 2026 8:46 pm Ναι, λέει " να βρεθεί η τιμή του α ώστε να ισχύει..." . Έχετε δίκιο, εκεί πρέπει να γίνει επαλήθευση λοιπόν. Όμως στον Παπαδάκη , ζητείται να αποδειχτεί ότι a = e , και αφού το βρει , κάνει επαλήθευση.

Αν το έχει έτσι, πρόκειται για κάτι που δεν χρειάζεται (να κάνει επαλήθευση)

H εκφώνηση δεν ζητάει να βρεθεί η τιμή του α, πρόκειται για την απόδειξη μιας συνεπαγωγής.


Συμφωνούμε σε αυτό. Ωστόσο σε διάφορα βιβλία κυκλοφορεί με την εκφώνηση "να βρεθεί η τιμή του α αν γνωρίζετε ότι ..." Εκεί χρειάζεται επαλήθευση ή όχι ;

Μπορείς να δεις και την παραπομπή που έκανε ο ...

Τόμος Γ2 , σελίδα 85 , λυμένη άσκηση 2.12 (έκδοση 2017 , Σαββάλας). Αντιγράφω (αφού έχει βρει α =e): Στο σημείο αυτό πρέπει να είμαστε ιδιαίτερα προσεκτικοί. Αν και κάποιος θα νόμιζε ότι η απάντηση είναι ολοκληρωμένη , ωστόσο λείπει κάτι σημαντικό. Η συνθήκη g'(0) = 0 είναι αναγκαία και όχι ικανή ...

Λοιπόν καλησπέρα κατά αρχάς. Να σημειώσουμε ότι η διαδικασία της εξαγωγής του συμπεράσματος για την εύρεση της τιμής του a έχει θεμελιωθεί πάνω στην παραδοχή της ύπαρξης τοπικού ακροτατου της συνάρτησης στο 0.
Η παρερμηνεία έγκειται στην διατύπωση της άσκησης, η οποία προεξοφλεί εκ των προτέρων ...

Γιατί δεν χρησιμοποιεί η λύση ειδικά το ελάχιστο; Μα αφού από αυτό ξεκινάμε. Οι συλλογισμοί είναι: Ισχύει η συγκεκριμένη σχέση για την f, άρα η f παρουσιάζει σε κάποιο σημείο ΕΛΑΧΙΣΤΟ, άρα τοπικό ακρότατο. Αυτό το σημείο είναι εσωτερικό του R και επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο (εφόσον ...

Ένα κλασικό θέμα στο θεώρημα του Fermat είναι το εξής: Αν ισχύει $a^x\geq x+1 , \forall x \in \mathbb{R}$ να αποδειχτεί ότι $a=e$. Το ερώτημα είναι το εξής: Αφού αποδείξουμε ότι $a=e$ πρέπει ή όχι να γυρίσουμε πίσω και να δείξουμε ότι η συνάρτηση $f(x)=e^x-x-1$ παρουσιάζει όντως ολικό ελάχιστο στο ...

Δέκα ασκήσεις (ερωτήσεις ανοικτού τύπου) προετοιμασίας για τις εισαγωγικές εξετάσεις των Πρότυπων Γυμνασίων

Καλησπέρα σε όλους,

είναι το πρώτο μου post στο forum αν και το παρακολουθώ εδώ και καιρό.
Έχω μια ερώτηση η οποία με έχει ταλαιπωρήσει μερικές μέρες τώρα...

Αν υποθέσουμε ότι έχουμε μια συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, η οποία είναι 1-1, τότε αν θέλουμε να βρούμε τα κοινά ...

Ένα διαγώνισμα στα γραμμικά συστήματα 2χ2 και τις ιδιότητες συναρτήσεων (μονοτονία, ολικά ακρότατα, συμμετρίες, μετατοπίσεις)

Ξαφνικά μέσα από δεκάδες δημοσιεύσεις, σχόλια και αναλύσεις μάθαμε ότι όλος ο κόσμος γνωρίζει την ανισότητα: $e^x\ge x+1$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$.



Και όμως, αυτή η ανισότητα υπάρχει σαν άσκηση Β' Ομάδας στο σχολικό βιβλίο.

Όχι ακριβώς, την έχει ως αυστηρή ανισότητα μόνο για τα θετικά χ ...

Ένα διαγώνισμα στο κεφάλαιο της τριγωνομετρίας

Καλησπέρα , είμαι μαθήτρια πρώτης λυκείου και ενδιαφερομαι να πάρω μέρος στους διαγωνισμούς. Έχω ήδη ενημερώσει πολλές φορές τον καθηγητή μου ότι θέλω να με δηλώσει αλλά μου έχει πει ότι δεν του έχουν στείλει κάτι . Επειδή έμαθα ότι θα γίνει στις 8/11/2024 προλαβαίνω να με δηλώσει στις 4/11 ή ...

Δημήτρη, καλημέρα,

Εάν δεν δίνεται ρητά το πεδίο ορισμού της σύνθεσης $f\circ g$, τότε δε σημαίνει ότι είναι αυτό για το οποίο ισχύει μια δοθείσα σχέση, π.χ. η $(f\circ g)(x)=\frac{x^2-x}{x}$.

Η δοθείσα σχέση θα ισχύει σε ένα υποσύνολο του πεδίου ορισμού της $f\circ g$. Όπως έχει διατυπωθεί η ...