Τέλος πάντων
Διάβασα την λυση της Χριστινας και κατάλαβα την λυση
Ο άλλος την έχει λύσει εντελώς ακαταλαβίστικα
Θα ξεχάσουμε και αυτά που ξέρουμε
Είναι και φοιτητής τρομάρα του!


Ανεπιθύμητα σχόλια, δημιουργούν ανεπιθύμητους χώρους.
Δεν είναι κρίμα να χάσουμε μία παραπάνω λύση από έναν μαθητή ...

Θα μπορούσε κάποιος να ανεβάσει μια λυση ή υπόδειξη στο πρόβλημα 2 γιατί έχω κολλήσει;

Καλησπέρα Αλέξανδρε, εάν $P(x)=x^n+ax^{n-1}+R_1(x)$ με $\deg(R_1)<n-1$ και $Q(x)=x^m+R_2(x)$ με $\deg(R_2)<m$ δείξε ότι ο μεγιστοβάθμιος όρος του πολυωνύμου $P(x+p)-P(x-p)$ είναι ανεξάρτητος του $R_1(x)$ καθώς ...

Διαγώνισμα 2 Επίπεδο: Αρχιμήδης

Πρόβλημα 1
Να λυθεί στους πρώτους αριθμούς η εξίσωση:
$2^{p+4}+q^2=r^3$

Πρόβλημα 2
Αν για τα πολυώνυμα:
$P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ και $Q(x)=(a-b)x^3+(b-c)x^2+(c-d)x+(d-a)$ όπου
$a,b,c,d$ μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί ισχύει ότι:
(1) Το κάθε ένα από αυτά ...

Να πάμε και στις πολυαγαπημένες μου δυνάμεις ακεραίων, μιας και το άθροισμα
των πρώτων $22$ τέλειων δυνάμεων ισούται με $2019$! (Όχι παραγοντικό :D )
$2019 = 1 + 4 + 8 + 9 + 16 + 25 + 27 + 32 + 36 + 49 + 64 + 81 +$
$+ 100 + 121 + 125 + 128 + 144 + 169 + 196 + 216 + 225 + 243$
Μετά υπομονή μέχρι το ...

Διαγώνισμα 2 Επίπεδο: Αρχιμήδης

Πρόβλημα 1
Να λυθεί στους πρώτους αριθμούς η εξίσωση:
$2^{p+4}+q^2=r^3$

Πρόβλημα 2
Αν για τα πολυώνυμα:
$P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ και $Q(x)=(a-b)x^3+(b-c)x^2+(c-d)x+(d-a)$ όπου
$a,b,c,d$ μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί ισχύει ότι:
(1) Το κάθε ένα από αυτά έχει ...

Επαναφορά!

Στο επίπεδο, ονομάζουμε "ακέραια" τα σημεία που έχουν ακέραιες συντεταγμένες. Ο Νίκος και ο Θανάσης παίζουν το εξής παιχνίδι: Αρχικά, ο Νίκος επιλέγει ένα ακέραιο σημείο, και στην συνέχεια επιλέγει και ο Θανάσης ένα ακέραιο σημείο, διαφορετικό από αυτό του Νίκου. Ο σκοπός του παιχνιδιού είναι ο ...

Διαγώνισμα 2 Επίπεδο: Αρχιμήδης

Πρόβλημα 4
Οι αριθμοί $1,2, ... ,n$ είναι γραμμένοι σε έναν πίνακα όπου $n$ θετικός
ακέραιος. Σε κάθε κίνηση, μπορούμε να διαγράψουμε $2$ αριθμούς από
τον πίνακα, και στην θέση τους να τοποθετήσουμε το ελάχιστο κοινό
πολλαπλάσιό τους. Ύστερα από $k$ κινήσεις ...

Διαγώνισμα 14 Επίπεδο: Αρχιμήδης/Προκριματικός Seniors

Πρόβλημα 4
Δίνεται το σύνολο $S=\{1, 2, ...,n\}$. Ένα υποσύνολο του $S$ (έστω $A=\{a_1, a_2, ..., a_k\}$ με $a_1<a_2<...<a_k$)
θα ονομάζεται "προοπτικό" εάν:
(1) $gcd(a_i,a_{i+1})|a_{i+2} , \forall i=1, 2, ..., k-2$.
(2) $a_i|lcm(a_{i+1 ...

Διαγώνισμα 10 Επίπεδο: Προκριματικός Seniors



Πρόβλημα 3
Να βρεθούν όλες οι τριάδες ακεραίων $(x,y,z)$ που ικανοποιούν την εξίσωση:
$2x^3+2y^3=3x^2y^2+4^z+1$




Προφανώς, $z \geqslant 0$.

Έστω $z \geqslant 1$.


Είναι $3x^2y^2=2x^3+2y^3-4^z-1 \Rightarrow xy \equiv 1 \pmod 2 \Rightarrow x ...

Καλή επιτυχία στους συμμετέχοντες!

Έστω όπου είναι πραγματικές σταθερές, και επιπλέον το πολυώνυμο έχει ακέραιους συντελεστές. Να αποδείξετε ότι: για κάθε

Πηγή: Aops

Για τα θέματα των μεγάλων μπορείτε να δείτε και διαφορετικές (ίσως) λύσεις εδώ:
Πρόβλημα 1
Πρόβλημα 2
Πρόβλημα 3
Πρόβλημα 4

Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του θετικού ακεραίου για την οποία ισχύει ότι ο αριθμός:
είναι πρώτος.

ΑΣΚΗΣΗ 23

Να αποδειχθεί ότι για φυσικούς $m,n$ με $m < n$, το $x^m-a^m$ διαιρεί το $x^n-a^n$ αν και μόνον $m|n$.



Έστω $m,n$ φυσικοί τέτοιοι ώστε: $x^m-a^m|x^n-a^n$.
Έστω $n=km+u$ με $0\leq u<m$.
Τότε $x^m-a^m|x^{km+u}-a^{km+u}$. (1)
Όμως $x^m-a^m|x^u(x^{km}-a^{km})=x^{km+u}-x^ua^{km}$. (2 ...

Εάν για την ακολουθία ισχύει ότι:
να υπολογίσετε το άθροισμα:
.

ΑΣΚΗΣΗ 22

Να λυθεί η εξίσωση

$\displaystyle{ 1 + x + \frac {x(x+1)}{2!}+ ... \, + \frac {x(x+1)...(x+n-1)}{n!}=0}$




Καλησπέρα σας κ.Λάμπρου και χρόνια πολλά!
Ορίζουμε $P_n(x)=1+x+...+\frac{x(x+1)...(x+n-1)}{n!}$.
Αρχικά θα δείξουμε ότι:
$P_n(-n)=0$.
Πράγματι: $P_n(-n)=1+(-n)+\frac{(-n ...

Έστω δύο φορές παραγωγίσιμη και .
Να υπολογίσετε το όριο:

Διαγώνισμα 15 Επίπεδο: Ευκλείδης Α' Λυκείου
Πρόβλημα 3
Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση:
$(x^2-x+1)(x^2+1)(x^2+x+1)=6x^3$.


$(x^2-x+1)(x^2+1)(x^2+x+1)\ge 0$ για κάθε πραγματικό χ
Άρα θα δουλέψουμε για μη αρνητικά χ
Όμως τότε
$x^2-x+1\ge x$
$x^2+1 \ge 2x$
$x^2+x+1 \ge 3x$
Και ...

Πρόβλημα 1
α) Να διατάξετε τους αριθμούς $A_1, A_2, ..., A_{10}$ σε αύξουσα σειρά εάν
$\displaystyle{A_n=\frac{13na+12}{na+1}}$ όπου $a$ θετικός πραγματικός αριθμός.
β) Υπάρχει άραγε θετικός ακέραιος $n$ και θετικός πραγματικός $a$ έτσι ώστε
μεταξύ των $A_1$ και $A_n$ να υπάρχει ακέραιος ...