Σωστά κύριε Λάμπρου, λείπει το . Διορθώθηκε

Ευχαριστώ για την απάντηση. Είχα μια διαφωνία σχετικά με αυτό το θέμα. Τις ίδιες σκέψεις έκανα και εγώ αλλά η άλλη πλευρά δεν "άκουγε".

Θέλουμε να δείξουμε ότι η συνάρτηση $f(x)=x\sin\frac{1}{x}$, $x\ne0$ και $f(0)=0$ δεν είναι παραγωγίσιμη στο $0$. Είναι σωστή η παρακάτω αιτιολόγηση στα πλαίσια του σχολείου;

Είναι:
$\lim_{x\to0}\limits\frac{f(x)-0}{x-0}=\lim_{x\to0}\limits\frac{x\cdot \sin\frac{1}{x}}{x}=\lim_{x\to0}\limits\sin ...

Μια προσπάθεια επίλυσης.

$\displaystyle{x = 31}$ είναι $\displaystyle{f^3(31) + f(31) + 1 = 31 \iff f^3(31) + f(31) - 30 = 0 \iff f(11) = 3}$

Μάλλον εννοείτε $f(31)=3$

Ακριβώς αυτό εννοούσα. Το διόρθωσα και στο αρχικό κείμενο.

Για το ερώτημα (4)
θα βοηθήσει αν δείτε την παράσταση ως:
$f^3 ...

Μια προσπάθεια επίλυσης.

(1) Για κάθε $\displaystyle{x \in \msthbb{R}}$ έχουμε:
$\displaystyle{f^3(x) + f(x) + 1 = x \Rightarrow 3f^2(x)f'(x) + f'(x) = 1 \Rightarrow f'(x) = \dfrac{1}{3f^2(x) + 1} > 0}$.
Έπεται ότι η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$.
Επίσης ...

Μια άλλη λύση για το Δ4 (αν δεν έχω κάποιο λάθος):

Η $F(x)$ είναι συνεχής στο διάστημα $[\beta,2\beta]$ ($\beta<2\beta$ αφού $\beta>0$), $F(\beta)\ne F(2\beta)$ (αφού $F$ γνησίως φθίνουσα) και $\frac{F(\beta)+F(2\beta)}{2}$ ανάμεσα στα $F(\beta)$ και $F(2\beta)$. Άρα από Θ.Ε.Τ. υπάρχει τουλάχιστον ...