Άσκηση 009

Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και εσωτερικό σημείο Ε, τέτοιο ώστε το τρίγωνο ΕΑΒ να είναι ισοσκελές, με τις ίσες γωνίες του ΕΑΒ και ΕΒΑ να ισούνται προς 15 μοίρες.

Να δειχτεί ότι το τρίγωνο ΕΔΓ είναι ισόπλευρο.

Μάλλον θά 'θελες να γράψεις:

blondy έγραψε:Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α ορθή ) , Δ μέσο του ΑΒ και ΔΕ κάθετη στη ΒΓ . Αν (ΒΔΕ)= (ΑΒΓ)
να υπολογίσετε τη γωνία Β .

οπότε και Β = π/6

Χρ. Θεοφιλάτος

ctheofi έγραψε:Να κατασκευαστεί τρίγωνο ΑΒΓ από την πλευρά ΒΓ=α, το γινόμενο των δύο άλλων πλευρών και την γωνία φ.

Χρ. Θεοφιλάτος

Υπόδειξη για χρησιμοποίηση της 7ης περίπτωσης

Χρ. Θεοφιλάτος

Σύμφωνα με την 1η περίπτωση, η υπόψη γωνία ισούται πάντα με π/2 - φ/2

Χρ. Θεοφιλάτος

Να κατασκευαστεί τρίγωνο ΑΒΓ από την πλευρά ΒΓ=α, το γινόμενο των δύο άλλων πλευρών και την γωνία φ.

Χρ. Θεοφιλάτος

Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα στοιχεία του υα, μα, φ (από το βιβλίο του Αρ. Δημητρίου το οποίο πράγματι έχει πολλές ασκήσεις με κατασκευές στις οποίες εμφανίζεται η διαφορά Β-Γ=φ). Με την 1η περίπτωση {υα και φ/2} ορίζεται η ευθεία επί της οποίας βρίσκεται η πλευρά ΒΓ, στη συνέχεια το μα προσδιορ...

7η περίπτωση

Αν ΑΜ διάμεσος και φέρω τις ΜΔ και ΑΔ έτσι ώστε η γωνία ΑΜΔ = ΑΜΒ και η γωνία ΜΑΔ = Β, τότε η γωνία ΔΒΓ = φ (?)

Χρ. Θεοφιλάτος

5η περίπτωση Αν ε παράλληλος προς την ΒΓ, διερχόμενη εκ του Α, και Β' το συμμετρικό του Β ως προς την ε, τότε η γωνία ΓΑΒ' = π-φ 6η περίπτωση Αν η ευθεία ε διέρχεται εκ του Α και σχηματίζει οξεία γωνία ω με την ΒΓ, και Β' το συμμετρικό του Β ως προς την ε, τότε η γωνία ΓΑΒ' = π-2ω+(-)φ Χρ. Θεοφιλάτος

Παρατήρηση Η άσκηση θα μπορούσε να τεθεί και πιο γενικά ως εξής: Έστω περιφέρεια κέντρου Ο, σταθερή χορδή αυτής ΑΒ και σταθερό σημείο Σ της περιφέρειας. Επί της ΑΒ παίρνουμε τυχόντα σημεία Μ και Ν συμμετρικά ως προς το μέσον Ο της ΑΒ, (δηλ. έτσι ώστε ΟΜ=ΟΝ) και φέρνουμε τις ΣΜ και ΣΝ, που τέμνουν τ...

2η περίπτωση

Αν ΑΔ το ύψος επί την ΒΓ εκ του Α και Β' το συμμετρικό του Β ως προς Δ, τότε η γωνία Β'ΑΓ = φ

Χρ Θεοφιλάτος

Ας συγκεντρώσουμε εδώ τις περιπτώσεις που εμφανίζεται η διαφορά των γωνιών Β-Γ=φ, τριγώνου ΑΒΓ.

Δίνω το εναρκτήριο λάκτισμα.

1η περίπτωση

Αν ΑΔ το ύψος εκ του Α στην ΒΓ και ΑΕ η διχοτόμος της Α, τότε η γωνία ΔΑΕ=φ/2

Χρ. Θεοφιλάτος

Έστω περιφέρεια κέντρου Ο, η διάμετρος αυτής ΑΒ και σταθερό σημείο Σ της περιφέρειας. Επί της ΑΒ παίρνουμε τυχόντα σημεία Μ και Ν συμμετρικά όμως ως προς το κέντρο Ο, (δηλ. έτσι ώστε ΟΜ=ΟΝ) και φέρνουμε τις ΣΜ και ΣΝ, που τέμνουν την περιφέρεια στα Μ' και Ν' αντιστοίχως. Να δειχθεί ότι η χορδή Μ'Ν'...

Δυστυχώς έχουμε μόνο τέσσερις τρόπους μέχρι στιγμής, γιατί ο 5ος μοιάζει αρκετά θα έλεγα με τον 2ο :P , αν εξαιρέσουμε το μικρό λαθάκι του Ανδρέα, που σίγουρα το άφησε για να δούμε αν διαβάζουμε προσεκτικά τις λύσεις του :lol: (Μη μου πείτε ότι δεν έχετε ακούσει καθηγητή να δικαιολογείται όταν ανακ...

Έστω περιφέρεια κέντρου Ο, η διάμετρος αυτής ΑΒ και σταθερό σημείο Σ της περιφέρειας. Επί της ΑΒ παίρνουμε τυχόντα σημεία Μ και Ν συμμετρικά όμως ως προς το κέντρο Ο, (δηλ. έτσι ώστε ΟΜ=ΟΝ) και φέρνουμε τις ΣΜ και ΣΝ, που τέμνουν την περιφέρεια στα Μ' και Ν' αντιστοίχως. Να δειχθεί ότι η χορδή Μ'Ν' ...

5ος τρόπος:

Κατασκευάζουμε ημικύκλιο με διάμετρο ΑΒ = 8.
Από το σημείο Γ του ΑΒ με ΑΓ = 1 φέρουμε κάθετο στην ΑΒ,
η οποία τέμνει το ημικύκλιο στο Δ.
Το ΓΔ έχει μήκος .

Φιλικά,
Χρ. Θεοφιλάτος

Αυτό ακριβώς λέω κι εγώ, θέλοντας να προλάβω τις όποιες παρόμοιες αντιρρήσεις, γράφοντας: " φανταζόμενοι την πλευρά ΑΒ του ισοπλεύρου τριγώνου όρθια, δηλ. κατά την έννοια της κατακορύφου , το μέγιστο "οκτάρι" σχηματίζεται από δύο άλλους κύκλους, εφαπτόμενους μεταξύ τους και στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ ο ...

Φίλε Μιχάλη, αν δεν αφήσουμε το σκίτσο να καθοδηγήσει τη σκέψη μας και περιοριστούμε στην εκφώνηση του προβλήματος, τότε φανταζόμενοι την πλευρά ΑΒ του ισοπλεύρου τριγώνου όρθια, δηλ. κατά την έννοια της κατακορύφου, το μέγιστο "οκτάρι" σχηματίζεται από δύο άλλους κύκλους, εφαπτόμενους μεταξύ τους κ...

PanosG έγραψε:Βρειτε το μεγαλύτερο "οχτάρι" που χωράει σε ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς 1.
(Οι κύκλοι είναι ίσοι και εφάπτονται)

Πάντως εγώ σ' αυτό το πρόβλημα {αν δεν συνοδεύεται απ' το συνημμένο σκίτσο} βρίσκω:

Το πρόβλημα θα μπορούσε και να γενικευτεί ως εξής: Δίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Να κατασκευαστεί παραλληλόγραμο, όμοιο προς δοθέν και του οποίου οι κορυφές είναι σημεία του τριγώνου ΑΒΓ. (Εγγεγραμμένο παραλληλόγραμο, όμοιο προς δοθέν, σε τρίγωνο). Οι (γενικώς) τρεις λύσεις, κατασκευάζονται όπως και οι α...

"Δίνεται κύκλος C(O,R) και κύκλος C1 ο οποίος εφάπτεται εσωτερικά του C και με ακτίνα μικρότερη του του πρώτου. Να βρεθεί ο γ.τ. των κέντρων των κύκλων που εφάπτονται εσωτερικά στον πρώτο και εξωτερικά στο δεύτερο" Υπόδειξη προς μαθητές. Αν Κ σημείο του ζητούμενου τόπου, ας να ερευνήσει κανείς τι σ...