Αν δε δημιουργεί πρόβλημα, θα γράψω εδώ κι εγώ μια απορία που έχω επάνω στις ακολουθίες. Αναρωτιέμαι λοιπόν το πως μπορώ να δείξω που τείνει η ακολουθία $n^{\frac{a}{n}}$ a=σταθερός αριθμός: α>1.
Πάρε την $x^{a/x}=e^{(a/x)\ln x}$ όπου $x\in\mathbb R$ και βρες το όριό της όταν $x\to+\infty$. Το ...

Αν δε δημιουργεί πρόβλημα, θα γράψω εδώ κι εγώ μια απορία που έχω επάνω στις ακολουθίες. Αναρωτιέμαι λοιπόν το πως μπορώ να δείξω που τείνει η ακολουθία a=σταθερός αριθμός: α>1.

Πράγματι! Μάλλον βιάστηκα και σκέφτηκα ανάποδα. Ίσως πρέπει να κάνω πιο συχνά διαλείμματα για να έχω πιο καθαρό μυαλό.

[...]έστω ενα ανω φραγμα ολης της ακολουθιας ειναι το 2
o πρωτος όρος ειναι μικρότερος του 2
Έστω ότι η $a_{n}<2$ τότε αρκεί το $a_{n+1}<2\Leftrightarrow \sqrt{2+a_{n}}<2\Leftrightarrow 2+a_{n}<4\Leftrightarrow a_{n}<2$ που ισχύει απο την υπόθεση μας
Στέκει σαν συλλογισμός ή όχι?
Δεν έχω ...

Υπάρχει τρόπος να αποδειχθεί με επαγωγή ότι $\left(\frac{n+1}{n} \right)^{n}<3$ για κάθε n φυσικό αριθμό;

Έχει κανείς στο νου του έστω μια υπόδειξη για το πως θα μπορούσε να λυθεί με επαγωγή;

Αν δε μπορεί να αποδειχθεί με επαγωγή, υπάρχει τρόπος να αποδείξει κανείς ότι δε μπορεί να λυθεί με ...

[...]

Γνωρίζεις καμμιά γεωμετρική πρόοδο με πρώτο όρο το 1, κοινό λόγο το $\lambda$ και άθροισμα 2;
με άλλα λόγια τι πρέπει να είναι το $\lambda$;

[...]

Άρχισε από τα βασικά...άρχισε από τα βασικά, αριθμητικές πρόοδοι, γεωμετρικές πρόοδοι, ανισότητες κ.τ.λ.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Δυστυχώς δεν ήξερα ...

Μήπως μπορεί κάποιος να εξηγήσει πως δικαιολογείται αυτή η ανισότητα:
$\displaystyle{1+n\cdot \frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}\frac{1}{n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\frac{1}{n^3}+...+\frac{n\cdot(n-1)}{2!}\frac{1}{n^{n-2}}+n\frac{1}{n^{n-1}}+\frac{1}{n^n}<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4 ...

Μήπως μπορεί κάποιος να εξηγήσει πως δικαιολογείται αυτή η ανισότητα:
$\displaystyle{1+n\cdot \frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}\frac{1}{n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\frac{1}{n^3}+...+\frac{n\cdot(n-1)}{2!}\frac{1}{n^{n-2}}+n\frac{1}{n^{n-1}}+\frac{1}{n^n}<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4 ...

Διάφοροι τρόποι, ακόμα και χωρίς χρήση ότι συγκλίνει. Π.χ.

α) από την $\log (1+x) \le x\,$ έχουμε $\left(1+\frac{1}{n} \right)^{n} = e^{n\log\left(1+\frac{1}{n} \right)} \le e^{n\cdot \frac{1}{n}} = e$

β) από το ανάπτυγμα του διωνύμου $\left(1+\frac{1}{n} \right)^{n}= 1 + n\cdot\frac{1}{n ...

Ευχαριστώ πολύ για τις απαντήσεις σας.
Θεωρούμε γνωστό ότι το $\left(1+\frac{1}{n} \right)^{n}$ συγκλίνει στο e και είναι φραγμένο από αυτό. Αν θέλαμε να το αποδείξουμε αντί να το θεωρήσουμε γνωστό, ότι το $\left(1+\frac{1}{n} \right)^{n}$ είναι φραγμένο από το 3, ποια θα ήταν η προσέγγισή μας ...

Έστω το σύνολο $A=\left\{{\frac{{\left(\frac{n+1}{n} \right)}^n}{n+1}: n\in N \right\}}$

Πως μπορώ να βρω το supA; Νομίζω πως είναι supA = 1 αλλά δεν καταφέρνω να το αποδείξω.
Διαισθητικά καταλαβαίνω ότι επειδή ο αριθμητής συγκλίνει στο e ενώ ο αριθμητής τείνει στο άπειρο όταν το n τείνει στο ...