Μια λύση για την 24(ελπίζω οι πράξεις να ναι σωστές)...:
Εφόσον οι παρονομαστές είναι θετικοί, η ανισότητα ισοδύναμα γίνεται:
$\displaystyle{\frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {y + 1} \right)}^2}}} \geqslant \frac{1}{{1 + xy}}}\Rightarrow$

$(1+xy)(y+1)^{2}+(1+xy)(x+1)^{2 ...

Μια λύση για τη 10η...

Έστω ότι ισχύει $a-b^{2}> \frac{1}{4}$ , $b-c^{2}> \frac{1}{4}$, $c-d^{2}> \frac{1}{4}$ και $d-a^{2}> \frac{1}{4}$. Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε:

$a-b^{2}+b-c^{2}+c-d^{2}+d-a^{2}>\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4} \Rightarrow$

$(a^{2}-a+\frac{1}{4} )+ (b^{2}-b ...

Ναι, όντως τώρα κατάλαβα τι εννοείτει και επισήμανα και το λάθος της λύσης μου πιο πάνω...
Βασικά , μπορούμε να ισχυριστούμε ότι το α είναι ρητός; Γιατί αν ήταν άρρητος θα είχαμε $xa$ άρρητος και όλο το πρώτο μέλος άρρητο. Όμως τότε το πρώτο μέλος δε θα ήταν ίσο με 0. Ωστόσο αν έχουμε κάποιον μη ...

Βασικά δεν θεώρησα ότι το α είναι ακέραιος.
Στο χ έβαλα τις πιθανές ακέραιες ρίζες και απλώς το α βγήκε παντού ακέραιος αριθμός...

Λανθασμένη λύση (είναι μόνο για α ακέραιο)
Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι το $\pm 1, \pm 2, \pm 4$

i) Για $+1$ είναι:
$P (1) = 0 \Rightarrow 2-1+a+4=0 \Rightarrow a=-5$
ii) Για $-1$ είναι:
$P (-1) = 0 \Rightarrow -2-1-a+4=0 \Rightarrow a=1$
iii) Για $+2$ είναι:
$P (2) = 0 \Rightarrow 16-4+2a+4=0 ...

$x^4+y^3<256+512=768\Rightarrow x^4+y^3<512$

Χμ... Το γεγονός ότι $x^4+y^3<256+512=768$ δε συνεπάγεται με $x^4+y^3<512$. Ή όχι ; Πάντως, μπορεί π.χ. να είναι $x^4+y^3=600$ και τότε θα επαληθεύοταν η πρώτη σχέση άλλα όχι και η δεύτερη...
Συγχωρέστε με αν κάπου κάνω λάθος.

Φιλικά,
Βασίλης

Μία λύση για την 7..:

Από τη στιγμή που τα κλάσματα ορίζονται είναι:

$\frac{3a+1}{a+x} - \frac{a-1}{a-x} = \frac{2a(a^{2}-1)}{x^{2}-a^{2}} \Rightarrow
\frac{3a+1}{a+x} - \frac{a-1}{a-x} = -\frac{2a(a^{2}-1)}{(a+x) (a-x)} \Rightarrow$
$(3a+1)(a-x) - (a-1)(a+x)= -2a(a^{2}-1) \Rightarrow$
$3a^{2 ...

Πολύ αργά τα βγαλαν τα αποτελέσματα, αλλά όλα καλά τελικά μιας και πέρασα :D
Συγχαρητήρια στη Σταυρούλα (που ξέρω από το σχολείο), στους συμμαθητές μου μιας και κάναμε το 4/4 και σε όλα τα μέλη του Mathematica...

Κρίμα, πάντως, γιατί ο Ευκλείδης συμπέφτει με την τριήμερη μας και έτσι δε θα έχω την ...

Αν και Β Λυκείου θα μου επιτρέψετε να βάλω μια λύση για το 4ο...
Είναι $x^{3}+ y^{2} \leq 64 \Rightarrow x^{3}\leq (8-y)(8+y) \Rightarrow x^{4} \leq x(8-y)(8+y)$ καθώς το χ είναι μαγαλύτερο από 0...

Άρα αρκεί να δειχθεί ότι: $x (8-y) (8+y) + y^{3} \prec 512 \Rightarrow -x(y-8)(y+8) + y^{3}-512 ...

Γεια σας κι από μένα... (Παρακολουθώ το forum αρκετό καιρό αλλά δεν έτυχε να γραψω)
Καλούτσικα έγραψα, χοντρικα 3/4. Λοιπόν, τα 3 πρώτα θέματα της Β Λυκείου που έγραφα ήταν σχετικά απλά, αλλά το 4ο δεν το έβγαλα :wallbash:

Για το 3ο μπορούμε επίσης να αναπτύξουμε τα τετράγωνα και να πούμε ότι αρκεί ...