Ασκηση σε δακτυλιους

[dement]

Εστω δακτυλιος τετοιος ωστε . Να αποδειχθει οτι ο δακτυλιος ειναι αντιμεταθετικος.

(Χρησιμοποιω τον ορισμο του δακτυλιου συμφωνα με τον οποιο δεν υπαρχει κατ' αναγκη ουδετερο στοιχειο του πολλαπλασιασμου - ισχυουν σιγουρα μονο η προσεταιριστικοτητα και η επιμεριστικοτητα).

Δημητρης

[Μπάμπης Στεργίου]

Εστω δακτυλιος τετοιος ωστε . Να αποδειχθει οτι ο δακτυλιος ειναι αντιμεταθετικος.

(Χρησιμοποιω τον ορισμο του δακτυλιου συμφωνα με τον οποιο δεν υπαρχει κατ' αναγκη ουδετερο στοιχειο του πολλαπλασιασμου - ισχυουν σιγουρα μονο η προσεταιριστικοτητα και η επιμεριστικοτητα).

Δημητρης

Δημήτρη, αυτή είναι δύσκολη άσκηση ! Δεν ξέρω αν τη βάζεις για να τη μοιραστείς μαζί μας ή αν ψάχνεις έστω μια λύση. Έχω χρόνια να την ξαναδώ, αλλά μου είχε στείλει τη λύση ένας καθηγητής από την Πάτρα που κάνει την άλγεβρα . Αν λοιπόν δεν έχεις λύση , να ψάξω στα αρχεία(υπόγεια κλπ) , μηπως σταθώ τυχερός και τη βρω. Πάντως μόνος μου δεν είχα μπορέσει να τη λύσω, διότι και πράξεις έχει αλλά και τεχνάσματα.
Μπάμπης

[dement]

Καλημερα κυριε Στεργιου.

Εχετε δικιο, ειναι οντως δυσκολη ασκηση. Εχω μια λυση αλλα θα με ενδιεφερε πολυ να δω αν υπαρχει καμια συντομοτερη. (Εν τω μεταξυ θα φτιαξω ενα συνημμενο με τη λυση που εχω).

Δημητρης

[nsmavrogiannis]

Δημήτρη δεν έχω λύση στην άσκηση.
Θα ήθελα να πω όμως ότι ισχύει ένα γενικότερο αποτέλεσμα που το απέδειξε ο Jacobson το 1945:

Αν σε ένα δακτύλιο για κάθε στοιχείο του υπάρχει φυσικός αριθμός ώστε

τότε ο δακτύλιος είναι αντιμεταθετικός.

Μαυρογιάννης

[grigkost]

Τρείς λύσεις γιά τήν άσκηση, πού είναι "διάσημο" πρόβλημα [3.4.19] από τό Topics in Algebra τού Herstein, στά αρχεία τού mathematica μέ τίτλο Ένα πρόβλημα από τόν Herstein.

[dement]

Ευχαριστω ολους για τη συμμετοχη.

Εδω δινω σε συνημμενο τη λυση μου. Επειδη εχω προβλημα με τα .doc, το δινω σε .pdf - παρακαλω ας μου πουν οι διαχειριστες αν υπαρχει προβλημα με αυτο το format.

Δημητρης