Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

S.E.Louridas · #341

Και επί τη ευκαιρία, όπως άφησε να εννοηθεί και ό Γιώργος Τασσόπουλος:
Μπορούμε να έχουμε βέλτιστο |v|

από την $\left| v \right|^3 = \left| {a_2 v^2 + a_1 v + a_0 } \right|$ και όχι από την $\left| v \right|^3 \leq \left|a_2 v^2\right| + \left|a_1 v\right| + \left|a_0 } \right|$ ;

(*) Μήπως οι της επιτροπής προβληματίστηκαν πάνω σε όλα αυτά σε χρόνο record και κατέληξαν Επιστημονικά στο θέμα που έδωσαν και εμείς καθόμαστε και συζητάμε;

#342

S.E.Louridas έγραψε:Και επί τη ευκαιρία, όπως άφησε να εννοηθεί και ό Γιώργος Τασσόπουλος:
Μπορούμε να έχουμε βέλτιστο από την $\left| v \right|^3 = \left| {a_2 v^2 + a_1 v + a_0 } \right|$ και όχι από την ισχυρότερη της;

Σωτήρη αν εννοείς ότι ίσως δίνει διαφορετικό (μικρότερο) άνω φράγμα η παραπάνω ισότητα ... η απάντηση είναι αρνητική: πράγματι αμέσως προκύπτει η

$|v|^3\leq 3|v|^2+3|v|+3$ ,

οπότε, θεωρώντας την πραγματική συνάρτηση f(s)=3s^2+3s+3-s^3

βλέπουμε ότι f(s_0)=0

, όπου $s_0\approx 3,9514$ , ενώ η παράγωγος f'(s)=6s+3-3s^2

είναι αρνητική για $s>1+\sqrt{2}$ , άρα f(s)<f(s_0)

για

και συνεπώς |v|^3>3|v|^2+3|v|+3

για

. (Και νομίζω ότι αυτές οι ιδέες έχουν ήδη συζητηθεί εδώ από άλλους συναδέλφους.)

[Θα μπορούσε επομένως να ζητηθεί η $|v|\leq s_0$ , όπου s_0

η μοναδική πραγματική ρίζα της s^3-3s^2-3s-3=0

: αυτό όχι μόνο θα οδηγούσε στο βέλτιστο άνω φράγμα του |v|

, αλλά και θα αποτελούσε μία υπόδειξη για τους διαγωνιζόμενους, κάνοντας το Β3 κάπως/αρκετά ευκολότερο.]

Γιώργος Μπαλόγλου

S.E.Louridas · #343

Απλά και επειδή πιθανόν να μου διέφυγε Γιώργο, αποκλείεται να έχουμε "πέσει" στην περίπτωση
$\left| {a_2 v^2 + a_1 v + a_0 } \right|<\left|a_2 v^2\right| + \left|a_1 v\right| + \left|a_0 } \right|$ $\Rightarrow \left| v \right|^3 < \left| {a_2 v^2 } \right| + \left| {a_1 v} \right| + \left| {a_0 } \right|$ ;

(*) Ας υπενθυμίσουμε ότι κανείς δεν είπε ή υπενόησε πως τα θέματα είχαν Μαθηματικό κενό, αντιθέτως μάλιστα. Αρκεί όμως αυτό το αυτονόητο προαπαιτούμενο;

#344

S.E.Louridas έγραψε:Απλά και επειδή πιθανόν να μου διέφυγε Γιώργο αποκλείεται να έχουμε
$\left| {a_2 v^2 + a_1 v + a_0 } \right|<\left|a_2 v^2\right| + \left|a_1 v\right| + \left|a_0 } \right|$ $\Rightarrow \left| v \right|^3 < \left| {a_2 v^2 } \right| + \left| {a_1 v} \right| + \left| {a_0 } \right|$ ;

Καθόλου δεν αποκλείονται αυτές οι περιπτώσεις (που οδηγούν σε μικρότερες τιμές του |v|), και βεβαίως αποτελούν την συντριπτική πλειοψηφία, αλλά εμάς μας ενδιαφέρει η μέγιστη δυνατή τιμή του |v|, που όντως επιτυγχάνεται στην ακραία αλλά υπαρκτή περίπτωση a_2=a_1=a_0=3

(όπου ισχύουν η |a_2v^2+a_1v+a_0|=|a_2v^2|+|a_1v|+|a_0|

για την πραγματική ρίζα και οι |a_2v^2+a_1v+a_0|<|a_2v^2|+|a_1v|+|a_0|

για τις μιγαδικές ρίζες*).

*πράγματι οι μιγαδικές ρίζες της z^3-3z^2-3z-3=0

είναι οι $v\approx -0,475687\pm0,730036i$ , οπότε

$|3v^2+3v+3|\approx 0,661545<7,89171\approx |3v^2|+|3v|+|3|$

Γιώργος Μπαλόγλου

#345

gbaloglou έγραψε:
*πράγματι οι μιγαδικές ρίζες της είναι οι $v\approx -0,475687\pm0,730036i$ , οπότε

$|3v^2+3v+3|\approx 0,661545<7,89171\approx |3v^2|+|3v|+|3|$

... οπότε

και αντίστοιχα $|v|\approx \sqrt[3]{0,661545}\approx 0,8713$ , $|v|<\sqrt[3]{7,89171}\approx 1,9909$

[Πράγματι $|v|\approx |-0,475687\pm0,730036i|\approx 0,8713$ ]

Γιώργος Μπαλόγλου

S.E.Louridas · #346

S.E.Louridas έγραψε: Σκέψη:
Επί της ουσίας θέλουμε την αρνητικότητα της διαφοράς $\left|v \right| - 4,$ καθότι όλοι το διδάσκουμε αυτό σαν μέθοδο. Όμως ισχύει και στους μιγάδες όχι μόνο η σχέση $\left| {z_1 \pm z_2 } \right| \leqslant \left| {z_1 } \right| + \left| {z_2 } \right|,$ που είναι στην ημερήσια διάταξη αλλά και οι σχέσεις που επίσης διδάσκουμε, $\left| {z_2 } \right| - \left| {z_1 } \right| \leqslant \left| {z_1 \pm z_2 } \right|\; \vee \left| {z_1 } \right| - \left| {z_2 } \right| \leqslant \left| {z_1 \pm z_2 } \right| \vee \left| {\left| {z_1 } \right| - \left| {z_2 } \right|} \right| \leqslant \left| {z_1 \pm z_2 } \right|.$
Λύση:
Παίρνουμε από τις υποθέσεις («κάνοντας προσαρμογή στις δυνάμεις» για την δημιουργία της διαφοράς $\left| v \right| - 4$ ):
$\left| {v^3 + a_2 v^2 + a_1 v + a_0 } \right| = 0 \Rightarrow \left| v \right|^3 - \left| {a_2 } \right|\left| v \right|^2 - \left| {a_1 } \right|\left| v \right| - \left| {a_0 } \right| \leqslant 0 \Rightarrow$ $\left| v \right|^3 - 4^3 - 3\left( {\left| v \right|^2 - 4^2 } \right) - 3\left( {\left| v \right| - 4} \right) + 4 - 3 \leqslant 0,$ καθότι ισχύει $\left| {a_i } \right| \leqslant 3$ . Άρα προκύπτει $\left( {\left| v \right| - 4} \right)\left( {\left| v \right|^2 + \left| v \right| + 1} \right) \leqslant - 1 \Rightarrow \left| v \right| - 4 < 0 \Rightarrow \left| v \right| < 4.$

Φίλε Γιώργο σε ευχαριστώ.
Οι ερωτήσεις που σου έκανα και που δημιουργήθηκε αυτός ο διάλογος είναι μεταφορά από ερωτήσεις που μας έκαναν εδώ στην Πρωτεύουσα τόσο Μαθητές όσο και συνάδελφοι.
Πράγματι έτσι και από τον διάλογο αυτό φάνηκε η εξής αλήθεια. Το θέμα αυτό μπορεί να αντιμετωπιστεί με χρήση της τριγωνικής ανισότητας και να θεωρηθεί λήξαν. Όμως κατασκευαστικά δεν είναι καλό να είναι έτσι, αφού στοχεύει απλά σε τεχνική μόνο επίλυσης και το απεγκλωβίζει από την θεωρητική του υποδομή όπου θα επέβαλε να οδηγηθούμε σε ελάχιστο άνω φράγμα. Απεγκλωβίστηκε λοιπόν από το θέμα η θεωρητική - Μαθηματική του υπόσταση και έμεινε απλά η τεχνική της επίλυσης δηλαδή: εφάρμοσε φίλε λύτη τριγωνική ανισότητα από «αριστερά» $\left| {z_1 } \right| - \left| {z_2 } \right|\;\dot \eta \;\left| {z_2 } \right| - \left| {z_1 } \right|\;\dot \eta \;\left| {\left| {z_1 } \right| - \left| {z_2 } \right|} \right|\; \leqslant \;\left| {z_1 \pm z_2 } \right|$ και τέρμα.
Παράδειγμα προβλήματος τέτοιας νοοτροπίας θα μπορούσε να ήταν και το εξής:
Έστω ότι οι μιγαδικοί αριθμοί z_1 ,z_2 ,

είναι ρίζες των εξισώσεων $z^4 = 1,\;z^5 = 32$ αντίστοιχα στο

, αποδείξτε ότι $\left| {z_1\pm z_2 } \right| < 3+10^{-2013}.$
Οι συνάδελφοι λοιπόν και οι καλοί μαθητές που πέρασαν τις απόψεις τους εδώ, προβληματίστηκαν πάνω σε τέτοια θέματα θεωρητικής φύσης αλλά και θεωρητικής διδαχθείσας πλατφόρμας στο σχολείο. Θεώρησαν δηλαδή και δικαίως ότι η ΚΕΕ αποτελείται από μέλη που έχουν άριστη γνώση του γνωστικού αντικειμένου και δεν θα στόχευαν σε μία απλή τεχνικά εφαρμογή της τριγωνικής ανισότητας και για αυτόν ακριβώς τον λόγο «δυσκολεύτηκαν» στην επίλυση και όχι βέβαια ότι δεν είδαν την απλή αυτή τεχνική εφαρμογής της τριγωνικής ανισότητας, αφού θα ήταν άδικο ως ανακριβές να θεωρηθεί κάτι τέτοιο.
Εκείνο που θα ήθελα να επισημάνω σοβαρά είναι ότι η κατασκευή προβλημάτων που αφορά σε «αυστηρές» ανισότητες όταν θέλουμε να διατηρηθεί και η θεωρητική τους υπόσταση στοχεύοντας τελικά σε infimum ή supremum χωρίς αυτά να είναι αντίστοιχα το ελάχιστο ή το μέγιστο, θέλει πράγματι προσοχή και κατασκευαστική δεξιοτεχνία.

edit: Επανατοποθέτηση της ημέτερης λύσης

paylos · #347

Άλλη μια αλγεβρική λύση για το Β3.

$\left|v \right|^{3}\leq 3\left|v \right|^{2}+3\left|v \right|+3$

Όμως $\left|v \right|^{3}-1<\left|v \right|^{3}$ ,

Άρα, $\left|v \right|^{3}-1<3\left(\left|v \right| \right^{2}+\left|v\right|+1)$

$\Leftrightarrow \left(\left|v \right| \right-1)\left(\left|v \right| \right^{2}+\left|v \right|+1)<3\left(\left|v \right|^{2}+\left|v \right| +1\right)$

$\Leftrightarrow \left|v \right|-1<3\Leftrightarrow \left|v \right|<4$

S.E.Louridas · #348

...Και επειδή πάνω από όλα μας ενδιαφέρει η Μαθηματική «συμπεριφορά» των εννοιών, είπα να σας καταθέσω και μία άποψη
στην οποία καταλήξαμε με τον Γιώργο Τασσόπουλο.
Αν υπήρχε ελάχιστος θετικός

αυτός θα επαλήθευε την
$\displaystyle{\left| v \right| < k,\;\mu \varepsilon \;\left| v \right| = \max \left\{ {\left| {v_0 } \right|,\left| {v_1 } \right|,\left| {v_2 } \right|} \right\}}$ , όταν $\displaystyle{v_0 ,v_1 ,v_2}$ , είναι οι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{v^3 + a_2 v^2 + a_1 v + a_0 = 0…}$

parmenides51 · #349

τελικά βρέθηκε παρόμοια άσκηση με το Β3 σε πρόσφατο βιβλίο μαθηματικών Γ λυκείου κατεύθυνσης

για περισσότερα δείτε εδώ

batmsup1 · #350

Έχω των ίδιων συγγραφέων τα βοηθήματα για δέσμη. Έχουν και για το σύστημα με το ενιαίο λύκειο βιβλία?
Πάντως σε παλιότερα βιβλία μαθηματικών είναι συνηθισμένο ερώτημα και σε κάποια υπάρχει και αυτούσιο. Ακόμα και ειδικό βιβλίο με τίτλο απόλυτη τιμή-μέτρο μιγαδικού υπάρχει με πολύ απαιτητικά θεματα και πολύ ωραίες παρατηρήσεις στη θεωρία με σειρά.

Μάκης Χατζόπουλος · #351

parmenides51 έγραψε:τελικά βρέθηκε παρόμοια άσκηση με το Β3 σε πρόσφατο βιβλίο μαθηματικών Γ λυκείου κατεύθυνσης

για περισσότερα δείτε εδώ

Παρμ σε ευχαριστώ για την αναφορά.

Στην εν λόγω ανάρτηση υπάρχει μία προέκταση του υποερωτήματος Β3, να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\frac{1}{4} < \left| v \right| < 4}$

(για την δεξιά πλευρά είδαμε πολλές λύσεις, μας μένει να δούμε και για το αριστερό μέρος της ανισότητας).

Φανταστείτε να την βλέπαμε έτσι στις Πανελλαδικές Εξετάσεις (ή μήπως προτάθηκε έτσι;;)...

#352

gbaloglou έγραψε:
S.E.Louridas έγραψε:Απλά και επειδή πιθανόν να μου διέφυγε Γιώργο αποκλείεται να έχουμε
$\left| {a_2 v^2 + a_1 v + a_0 } \right|<\left|a_2 v^2\right| + \left|a_1 v\right| + \left|a_0 } \right|$ $\Rightarrow \left| v \right|^3 < \left| {a_2 v^2 } \right| + \left| {a_1 v} \right| + \left| {a_0 } \right|$ ;
Καθόλου δεν αποκλείονται αυτές οι περιπτώσεις (που οδηγούν σε μικρότερες τιμές του |v|), και βεβαίως αποτελούν την συντριπτική πλειοψηφία, αλλά εμάς μας ενδιαφέρει η μέγιστη δυνατή τιμή του |v|, που όντως επιτυγχάνεται στην ακραία αλλά υπαρκτή περίπτωση (όπου ισχύουν η για την πραγματική ρίζα και οι για τις μιγαδικές ρίζες*).

*πράγματι οι μιγαδικές ρίζες της είναι οι $v\approx -0,475687\pm0,730036i$ , οπότε

$|3v^2+3v+3|\approx 0,661545<7,89171\approx |3v^2|+|3v|+|3|$

Γιώργος Μπαλόγλου

Σωτήρη ... πολύ φοβάμαι ότι υπάρχει ένα βασικό λάθος μου στα παραπάνω ... ή μάλλον στην σχέση των παραπάνω με το αρχικό πρόβλημα:

Λοιπόν το αρχικό πρόβλημα (Β3) ζητούσε την |v|<4

για την τυχούσα μιγαδική ρίζα

του τυχόντος πολυωνύμου z^3+a_2z^2+a_1z+a_0

, όπου

τυχόντες μιγαδικοί εντός του δίσκου $|z-2|\leq 1$ (δηλαδή $|a_k-2|\leq 1$ ). Από την $|v|^3\leq |a_2||v|^2+|a_1||v|+|a_0|$ και τις προκύπτουσες $|a_k|\leq 3$ συμπεράναμε, ΣΩΣΤΑ, ότι $|v|\leq s_0$ , όπου $s_0\approx 3,9514<4$ η πραγματική ρίζα της x^3-3x^2-3x-3=0

. Ως εδώ κανένα πρόβλημα...

...Αλλά αυτό που πρέπει να προσεχθεί είναι ότι το πολυώνυμο z^3-3z^2-3z-3

ΔΕΝ ικανοποιεί τις συνθήκες του Β3, καθώς ο

ΔΕΝ ανήκει στον $|z-2|\leq 1$

Να το πω πιο απλά, άλλο z^3-3z^2-3z-3

και άλλο

Τι σημαίνουν τα παραπάνω; Ότι εξακολουθεί να μας διαφεύγει το βέλτιστο άνω φράγμα των μέτρων των ριζών των τριτοβαθμίων μιγαδικών πολυωνύμων του Β3.

Γιώργος Μπαλόγλου

S.E.Louridas · #353

Φίλε Γιώργο, θά ήθελα να καταθέσω μία θεωρητική διαπραγμάτευση που πιστεύω ότι απαντά:

Σε κάθε μία από τις άπειρες τριάδες των μιγάδων (a_0,a_1,a_2)

(με την ιδιότητα που δίνει για αυτές το θέμα, να ανήκουν δηλαδή οι εικόνες τους στο συγκεκριμένο σημειοσύνολο-κύκλο), αντιστοιχίζονται οι ρίζες

της αντίστοιχης εξίσωσης v^3 + a_2 v^2 + a_1 v + a_0 = 0.

Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι το σύνολο των μέτρων των ριζών αυτών για όλες τις τριάδες (a_0,a_1,a_2)

είναι φραγμένο άνω και αυτό επειδή:
Αν

τυχούσα απο αυτές ρίζα τότε
$\left| {v^3 + a_2 v^2 + a_1 v + a_0 } \right| = 0 \Rightarrow \left| v \right|^3 - \left| {a_2 } \right|\left| v \right|^2 - \left| {a_1 } \right|\left| v \right| - \left| {a_0 } \right| \leqslant 0\Rightarrow$ $\left| v \right|^3 -3\left| v \right|^2 -3\left| v \right| -3 \leqslant 0,$
οπότε έχουμε για τον τυχόντα t>0

και μετά από κάποιες πράξεις: $\left( {\left| v \right| - t} \right)\left( {\left| v \right|^2 + \left( {t - 3} \right)\left| v \right| + t^2 - 3t - 3} \right) \leqslant - t^3 + 3t^2 + 3t + 3$ (*).
Από την σχέση αυτή για t=5

π.χ. προκύπτει ότι |v|<5

.
Αν τώρα υπήρχε (για το σύνολο των μέτρων |v|

) βέλτιστο άνω φράγμα

θα είχαμε για την τυχούσα ρίζα

και το βέλτιστο αυτό

,
$\displaystyle{\left| v \right| < k \Rightarrow \left| v \right| < \frac{{\left| v \right| + k}} {2} < k...}$

(*) $\left| v \right|^3 - 3\left| v \right|^2 -3\left| v \right| - 3\leqslant 0 \Rightarrow$ $\left| v \right|^3 - t^3 - 3\left( {\left| v \right|^2 - t^2 } \right) - 3\left( {\left| v \right| - t} \right) \leqslant\ - t^3 + 3t^2 + 3t + 3$ και βέβαια ακολουθούν oι αναλύσεις των διωνυμικών διαφορών.

S.E.Louridas · #354

Ένα παράδειγμα που μου έστειλε ο Γιώργος Τασσόπουλος πάνω στο θέμα αναζήτησης ελάχιστου

.

Έχουμε: $\displaystyle{z^2 - z + 1 = 0\;\;\left( 1 \right) \Rightarrow \left| z \right|^2 = \left| {z - 1} \right|\;\;\left( 2 \right).}$

Aλλά: $\displaystyle{\left( 1 \right) \Leftrightarrow z = \frac{1} {2} + i\frac{{\sqrt 3 }} {2} = z_1 \;\dot \eta \;z = \frac{1} {2} - i\frac{{\sqrt 3 }} {2} = z_2 ,}$ με $\displaystyle{\max \left\{ {\left| {z_1 } \right|,\left| {z_2 } \right|} \right\} = 1.}$

Πρέπει και αρκεί λοιπόν: $\displaystyle{k>1$ , π.χ. $\displaystyle{k = 1 + \frac{1} {{10}} = \frac{{11}} {{10}} = k_1}}$ (υπάρχουν προφανώς άπειρες μικρότερες τιμές π.χ. $\displaystyle{k = 1 + \frac{1} {{100}}\;\dot \eta \;k = 1 + \frac{1} {{1000}}\;}$ κ.τ.λ.).
Άρα δεν υπάρχει ελάχιστη τιμή του $\displaystyle{k}$ .

Εξάλλου η (2)

εκτός των $\displaystyle{z_1,z_2}$ έχει προφανώς ρίζες και τους αριθμούς

$\displaystyle{z_3 = - \frac{1} {2} + i\frac{{\sqrt 7 }} {2},\;\;z_4 = - \frac{1} {2} - i\frac{{\sqrt 7 }} {2},}$ με $\displaystayle{\left| {z_3 } \right| = \left| {z_4 } \right| = \sqrt 2 > 1}$ (εύκολα βρίσκουμε ρίζες της (2)

θέτοντας $\displaystyle{z=x+yi}$ ).
Οι υπόλοιπες ρίζες της πιθανόν να έχουν μέτρο μεγαλύτερο του $\sqrt 2$ .

Πρέπει λοιπόν (χωρίς να αρκεί) $\displaystyle{k > \sqrt 2 > \frac{{11}} {{10}},}$ δηλαδή από την (2)

προκύπτει $\displaystyle{k>k_1}$ .

Παντελής Μιντεκίδης · #355

Πάλι για το ακατονόμαστο ...

Ανάρτησα δύο ακόμη αποδείξεις αυστηρώς ακατάλληλες και αυτές στις σελίδες 22 και 23 της ανάρτησης όπου υπάρχουν οι απαντήσεις όλων των θεμάτων και δεν πρόκειται να ξαναπασχοληθώ με αυτό:

http://neaflorina.blogspot.gr/2013/05/b ... _9272.html

Σημειώνω ότι η τελευταία μελέτη που διάβασα για τα ζητήματα αυτά περιέχει συγκεντρωτικά δέκα τρόπου-αλγορίθμους αντιμετώπισης. Σας πληροφορώ ότι δεν αξίζει τον κόπο να χάσει τον χρόνο του κάποιος για τόσο ειδικά θέματα. Ως μαθηματικοί δεν έχετε να κερδίσετε τίποτε το σπουδαίο ...

Παντελής Μιντεκίδης

S.E.Louridas · #356

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε: ...Στην εν λόγω ανάρτηση υπάρχει μία προέκταση του υποερωτήματος Β3, να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\frac{1}{4} < \left| v \right| < 4}$

(για την δεξιά πλευρά είδαμε πολλές λύσεις, μας μένει να δούμε και για το αριστερό μέρος της ανισότητας).

Απλά αυτό φίλε Μάκη ισχύει, αφού έχουμε επίσης:
$\root 3 \of 2 - 1 > \frac{1} {4} \Leftrightarrow 4\root 3 \of 2 > 5 \Leftrightarrow 128 > 125,$ που είναι απλή πρόταση με τιμή αλήθειας "ΑΛΗΘΗΣ".

lafkasd · #357

Καλησπέρα σας. Παραθέτω δύο προτάσεις σε GeoGebra για τα Ερωτήματα Β1 και Β2 αντίστοιχα για την εποπτική κατανόηση της λύσης.
Για το Β1

Ερώτημα Β1 σε GeoGebra1.ggb: (144.58 KiB) Μεταφορτώθηκε 180 φορές

και για το Β2

Ερώτημα Β2 σε GeoGebra.ggb: (128.83 KiB) Μεταφορτώθηκε 147 φορές

Νομίζω ότι οι δυνατότητες του συγκεκριμένου προγράμματος (ή οι δικές μου, πιο πιθανό) εξατλούνται στο ερώτημα Β3.Παρ' όλα αυτά παραθέτω και τις 2 ημιτελείς προσπάθειες για συζήτηση.

Ερώτημα Β3 σε GeoGebra1.ggb: (4.54 KiB) Μεταφορτώθηκε 243 φορές

και μια απλή παρουσίαση της συνάρτησης της λύσης

Συνάρτηση Β3.ggb: (108.69 KiB) Μεταφορτώθηκε 173 φορές

Christos.N · #358

lafkasd έγραψε:......
Νομίζω ότι οι δυνατότητες του συγκεκριμένου προγράμματος (ή οι δικές μου, πιο πιθανό) εξατλούνται στο ερώτημα Β3.Παρ' όλα αυτά παραθέτω και τις 2 ημιτελείς προσπάθειες για συζήτηση.
Ερώτημα Β3 σε GeoGebra1.ggb

Τα συγχαρητήρια μου,πολύ ωραία απεικόνιση φαίνεται ξεκάθαρα ότι η πραγματική ρίζα του πολυωνύμου παίρνει τιμές μικρότερες του τέσσερα.

Θυμίζει αυτήν την απόδειξη,

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#359

lafkasd έγραψε:Καλησπέρα σας. Παραθέτω δύο προτάσεις σε GeoGebra για τα Ερωτήματα Β1 και Β2 αντίστοιχα για την εποπτική κατανόηση της λύσης.
Για το Β1
Ερώτημα Β1 σε GeoGebra1.ggb

και για το Β2
Ερώτημα Β2 σε GeoGebra.ggb
Νομίζω ότι οι δυνατότητες του συγκεκριμένου προγράμματος (ή οι δικές μου, πιο πιθανό) εξατλούνται στο ερώτημα Β3.Παρ' όλα αυτά παραθέτω και τις 2 ημιτελείς προσπάθειες για συζήτηση.
Ερώτημα Β3 σε GeoGebra1.ggb
και μια απλή παρουσίαση της συνάρτησης της λύσης
Συνάρτηση Β3.ggb

Φίλε μου συγχαρητήρια, με έκανες να υπερνικήσω την οκνηρία μου και να κατεβάσω επιτέλους το Geogebra!

[Βεβαίως αυτό που δείχνεις είναι η 'βοηθητική' πραγματική συνάρτηση (που μας δίνει το άνω φράγμα του μέτρου των ριζών του αρχικού μιγαδικού πολυωνύμου): θα ήταν υπέροχο αν είτε εσύ είτε κάποιος άλλος συνάδελφος μπορούσατε επίσης στο ίδιο μεταβαλλόμενο σχήμα να μας δείχνετε, για κάθε θέση των a_0, a_1, a_2

, τις αντίστοιχες μιγαδικές ρίζες! (Ίσως αυτό ξεπερνά τις δυνατότητες του συγκεκριμένου προγράμματος;) Παρατηρώ επίσης ότι το τρίγωνο των εικόνων των a_0, a_1, a_2

φαίνεται να παραμένει όμοιο προς εαυτό, γι αυτό και δεν μπορείς να πλησιάσεις το

πέραν ενός σημείου -- αν μπορούσες να τυχαιοποιήσεις (randomize) πλήρως τις θέσεις των a_0, a_1, a_2

θα είχαμε ακόμη καλύτερο, πλήρες θα έλεγα, αποτέλεσμα.]

Γιώργος Μπαλόγλου

lafkasd · #360

Καλημέρα. Για την απεικόνηση του γ.τ του Β3 ζήτησα βοήθεια από τον forum του Wolfram Mathematica και ο χρήστης Artes μου έδωσε μια πολύ ενδιφέρουσα απεικόνιση εδώ
Ο κώδικας σε Mathematica9:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Μέλη σε σύνδεση