Μισεμός από τη Σάμο

Συντονιστές: Φωτεινή, silouan

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9904
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μισεμός από τη Σάμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Φεβ 20, 2017 7:20 pm

Αν ενός ορθογωνίου τριγώνου μειώσουμε κάθε μία από τις κάθετες πλευρές του ( οι οποίες

έχουν ακέραια μήκη ) κατά 2 , προκύπτει τρίγωνο με εμβαδόν ίσο με το μισό του αρχικού .

Δείξτε ότι οι πλευρές του αρχικού αποτελούν πυθαγόρεια τριάδα .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 729
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Μισεμός από τη Σάμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Δευ Φεβ 20, 2017 8:27 pm

Έστω x και y οι κάθετες πλευρές του αρχικού ορθογωνίου τριγώνου.

Προφανώς πρέπει να ισχύει ότι \dfrac{xy}{4}=\dfrac{(x-2)(y-2)}{2}\Leftrightarrow xy=4x+4y-8\Leftrightarrow x(y-4)=4y-8\Leftrightarrow x=\dfrac{4y-8}{y-4} \Leftrightarrow x=4+\dfrac{8}{y-4} άρα οι δυνατές τιμές του y-4 είναι οι θετικοί διαιρέτες του 8 (1, 2, 4, 8), δηλαδή y=(5, 6, 8, 12) και αντίστοιχα x=(12, 8, 6, 5), άρα (x, y)=(5, 12), (6, 8) και οι μεταθέσεις τους. Οι αριθμοί όμως (5, 12) και (6, 8) αποτελούν μέρος των πυθαγόρειων τριάδων (5, 12, 13) και (6, 8, 10), άρα το ζητούμενο ισχύει.

Υ.Γ. Η υποτείνουσα δεν θα μειωθεί κι αυτή ανάλογα; Ή μήπως όχι; Η λύση μου θεωρεί το πρώτο, ότι δηλαδή το αλλαγμένο τρίγωνο παραμένει ορθογώνιο!


Houston, we have a problem!
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10369
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μισεμός από τη Σάμο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Φεβ 20, 2017 9:39 pm

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: Υ.Γ. Η υποτείνουσα δεν θα μειωθεί κι αυτή ανάλογα; Ή μήπως όχι; Η λύση μου θεωρεί το πρώτο, ότι δηλαδή το αλλαγμένο τρίγωνο παραμένει ορθογώνιο!
Σωστά έλυσες την άσκηση:

Στα συμφραζόμενα της άσκησης είναι ότι μειώνουμε κατά 2 τις κάθετες πλευρές αλλά τις διατηρούμε κάθετες. Η υποτείνουσα του νέου τριγώνου είναι, βέβαια, μονοσήμαντα ορισμένη.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7093
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μισεμός από τη Σάμο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Φεβ 21, 2017 9:05 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:... Η υποτείνουσα του νέου τριγώνου είναι, βέβαια, μονοσήμαντα ορισμένη.
Πράγματι, αν a, b, c είναι οι πλευρές του αρχικού τριγώνου και k η υποτείνουσα του νέου τριγώνου, τότε:

\displaystyle{{k^2} = {(b - 2)^2} + {(c - 2)^2} = {b^2} + {c^2} - (4b + 4c - 8) = {a^2} - (4b + 4c - 8)}

Αλλά από υπόθεση, \displaystyle{4b + 4c - 8 = bc}, οπότε \boxed{k=\sqrt{a^2-bc}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης