Μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο;

Συντονιστές: Demetres, socrates, silouan

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δημοσιεύσεις: 507
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ » Δευ Φεβ 27, 2017 12:38 pm

Έστω θετικός ακέραιος n. Γράφουμε στον πίνακα όλες τις n^3 τριάδες (όχι απαραίτητα διακεκριμένων) ακεραίων κάθε ένας εκ των οποίων είναι μεταξύ του 1 και του n συμπεριλαμβανομένων. Έπειτα βρίσκουμε τον μεγαλύτερο αριθμό κάθε τριάδας (πιθανώς να είναι περισσότεροι από ένας) και σβήνουμε όλους τους υπόλοιπους. Π.χ. στην τριάδα (1,3,4) σβήνουμε τους 1 και 3 ενώ στην τριάδα (1, 2, 2) σβήνουμε μόνο το 1.

Να δειχθεί ότι μετά από αυτήν την διαδικασία το πλήθος των αριθμών που μένουν στον πίνακα δεν είναι τέλειο τετράγωνο.



Λέξεις Κλειδιά:
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 513
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Δευ Φεβ 27, 2017 1:00 pm

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Έστω θετικός ακέραιος n. Γράφουμε στον πίνακα όλες τις n^3 τριάδες (όχι απαραίτητα διακεκριμένων) ακεραίων κάθε ένας εκ των οποίων είναι μεταξύ του 1 και του n συμπεριλαμβανομένων. Έπειτα βρίσκουμε τον μεγαλύτερο αριθμό κάθε τριάδας (πιθανώς να είναι περισσότεροι από ένας) και σβήνουμε όλους τους υπόλοιπους. Π.χ. στην τριάδα (1,3,4) σβήνουμε τους 1 και 3 ενώ στην τριάδα (1, 2, 2) σβήνουμε μόνο το 1.

Να δειχθεί ότι μετά από αυτήν την διαδικασία το πλήθος των αριθμών που μένουν στον πίνακα δεν είναι τέλειο τετράγωνο.
Α. Οκ διατεταγμένες είναι :oops:


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δημοσιεύσεις: 507
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ » Δευ Φεβ 27, 2017 1:06 pm

JimNt. έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Έστω θετικός ακέραιος n. Γράφουμε στον πίνακα όλες τις n^3 τριάδες (όχι απαραίτητα διακεκριμένων) ακεραίων κάθε ένας εκ των οποίων είναι μεταξύ του 1 και του n συμπεριλαμβανομένων. Έπειτα βρίσκουμε τον μεγαλύτερο αριθμό κάθε τριάδας (πιθανώς να είναι περισσότεροι από ένας) και σβήνουμε όλους τους υπόλοιπους. Π.χ. στην τριάδα (1,3,4) σβήνουμε τους 1 και 3 ενώ στην τριάδα (1, 2, 2) σβήνουμε μόνο το 1.

Να δειχθεί ότι μετά από αυτήν την διαδικασία το πλήθος των αριθμών που μένουν στον πίνακα δεν είναι τέλειο τετράγωνο.
Τι ακριβώς δηλώνεις με το n^3. Επιπλέον, οι τριάδες δεν είναι διατεταγμένες, έτσι;
n^3 ειναι το πληθος των τρίαδων αν δεν κανω λάθος.


JimNt.
Δημοσιεύσεις: 513
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Δευ Φεβ 27, 2017 1:35 pm

Βάζω ένα hint
Προσπαθήστε να εκφράσεται το ζητούμενο πλήθος σε σχέση με το n. Σε λίγο η λύση...


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 513
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Δευ Φεβ 27, 2017 2:38 pm

Το ζητούμενο άθροισμα είναι n(2n+1)(n+1)/2. Αρκεί να δείξουμε ότι η n(2n+1)(n+1)=2m^2 δεν έχει θετικές ακέραιες λύσεις. Διακρίνουμε 2 περιπτώσεις: n=2k. Πρέπει k(4k+1)(2k+1)=m^2. Οι 3 παράγοντες είναι ανα δύο πρώτοι μεταξύ τους συνεπώς k=g^2, 4k+1=f^2 και 2k+1=l^2. Πρέπει -4g^2+f^2=1 \Leftrightarrow (f-2g)(f+2g)=1 . Πρέπει f+2g=f-2g=1,άτοπο. Ομοίως και όταν n=2k+1
Διόρθωση..


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης