Απρόοπτη ισότητα

KARKAR · #1

: Απρόοπτη ισότητα.png (11.48 KiB) Προβλήθηκε 1532 φορές

Στις πλευρές AB , AC

, τριγώνου ABC

, θεωρούμε σημεία P ,Q

αντίστοιχα , ώστε : BP=CQ

.

Η ευθεία η οποία διέρχεται από τα μέσα M ,N

των

, τέμνει τις AB , AC

στα σημεία S , T

,

αντίστοιχα . Δείξτε ότι : BS=QT

και :

.

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #2

Καλησπέρα,
Με θ. μενελάου στο τρίγωνο APC

, διατέμνουσας SNT

έχω:

$\dfrac{TC}{TA}\cdot \dfrac{NP}{NC}\cdot \dfrac{SA}{SP}=1\Leftrightarrow \dfrac{TC}{TA}\cdot \dfrac{SA}{SP}=1\,\,(1)$

Με θ. μενελάου στο τρίγωνο ABQ

διατέμνουσας TMS

έχω:

$\dfrac{SB}{SA}\cdot \dfrac{TA}{TQ}\cdot \dfrac{MQ}{MB}=1\Leftrightarrow \dfrac{SB}{SA}\cdot \dfrac{TA}{TQ}=1\,\,\ (2)$

Πολλαπλασιάζοντας κατα μέλη τις (1)

και

παίρνω:

$\dfrac{SB}{SP}=\dfrac{TQ}{TC}\Leftrightarrow \dfrac{SB}{BP}=\dfrac{TQ}{CQ}\overset{BP=QC}{\Leftarrow \!=\!\Rightarrow }\boxed{SB=TQ}$

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 14, 2020 7:00 pm
...και : .

Διαιρώντας κατά μέλη τις (1)

και

παίρνω:

$\dfrac{TC}{TA}\cdot \dfrac{SA}{SP}\cdot \dfrac{SA}{SB}\cdot \dfrac{TQ}{TA}=1 \overset{SB=QT}{\underset{SP=TC}{\Leftarrow \!=\!\Rightarrow} }SA^{2}=TA^{2}\Leftrightarrow \boxed{SA=TA}$

#3

: Απρόοπτη ισότητα.png (17.7 KiB) Προβλήθηκε 1478 φορές

Από τα $P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Q$ φέρνω παράλληλες στην

και τέμνουν τις $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB\,\,$ στα K,L

.

Θέτω : $BS = a\,\,,\,\,SL = b\,\,,\,\,LP = c\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CT = x\,\,,\,\,TQ = y\,\,,\,\,QK = w$ Ας είναι ακόμα , AB < AC

.

Θα ισχύουν: $\left\{ \begin{gathered} a = b\,\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \\ x = y + w\,\,\left( 2 \right) \hfill \\ a + b + c = x + y\,\,\left( 3 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,\,\, \Rightarrow 2b + c = 2y + w\,\,\left( 4 \right)$

Αλλά αφού: $\dfrac{c}{b} = \dfrac{w}{y} \Rightarrow \dfrac{c}{{2b}} = \dfrac{w}{{2y}} \Rightarrow \dfrac{{2b + c}}{b} = \dfrac{{2y + w}}{y}$

οπότε λόγω της $\left( 4 \right)$ έχω: b = y

και λόγω της $\left( 1 \right)$ : $\boxed{a = y}$ και $\boxed{c = w}$

Έτσι τα τετράπλευρα $STQL\,\,\kappa \alpha \iota \,\,STKP$ είναι ισοσκελή τραπέζια και αναγκαστικά το τρίγωνο AST

ισοσκελές .

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 14, 2020 7:00 pm
Απρόοπτη ισότητα.pngΣτις πλευρές , τριγώνου , θεωρούμε σημεία αντίστοιχα , ώστε : .

Η ευθεία η οποία διέρχεται από τα μέσα των , τέμνει τις στα σημεία ,

αντίστοιχα . Δείξτε ότι : και : .

Θεωρώ τα σημεία K, L

της ευθείας

ώστε

Προφανώς τα BSQK, SPLC

είναι

παραλληλόγραμμα και $\boxed{SP=CL, BS=QK}$

: Απρόοπτη ισότητα.png (12.61 KiB) Προβλήθηκε 1458 φορές

$\displaystyle \frac{{QT}}{{TC}} = \frac{{QK}}{{CL}} \Leftrightarrow \frac{{QT}}{{QT + TC}} = \frac{{QK}}{{QK + CL}} \Leftrightarrow \frac{{QT}}{{CQ}} = \frac{{QK}}{{BS + SP}} = \frac{{QK}}{{BP}} \Leftrightarrow QT = QK$

απ' όπου $\boxed{BS=QT}$ και $\displaystyle A\widehat ST = Q\widehat KT = Q\widehat TK \Leftrightarrow$ $\boxed{AS=AT}$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 14, 2020 7:00 pm
Απρόοπτη ισότητα.pngΣτις πλευρές , τριγώνου , θεωρούμε σημεία αντίστοιχα , ώστε : .

Η ευθεία η οποία διέρχεται από τα μέσα των , τέμνει τις στα σημεία ,

αντίστοιχα . Δείξτε ότι : και : .

: 1.png (27.01 KiB) Προβλήθηκε 1412 φορές

Έστω

το συμμετρικό του

ως προς το μέσο

της

και ας είναι $L\equiv KQ\cap ST$
Τότε προφανώς PBKQ

παραλληλόγραμμο (οι διαγώνιες διχοτομούνται) και $ST\equiv MN\parallel KC$ (συνδέει τα μέσα των πλευρών τριγώνου)
Έτσι από QC=PB=QK

προκύπτει ότι το τρίγωνο $\vartriangle KQC$ είναι ισοσκελές άρα και τα $\vartriangle AST,\vartriangle QLT$ είναι ισοσκελή (παράλληλες πλευρές) οπότε AS=AT

και με $MB=MQ\overset{SB\parallel QL}{\mathop{\Rightarrow }}\,SB=LQ=QT$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

p_gianno · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 14, 2020 7:00 pm
Απρόοπτη ισότητα.pngΣτις πλευρές , τριγώνου , θεωρούμε σημεία αντίστοιχα , ώστε : .

Η ευθεία η οποία διέρχεται από τα μέσα των , τέμνει τις στα σημεία ,

αντίστοιχα . Δείξτε ότι : και : .

: ισότητα τμημάτων.png (31.21 KiB) Προβλήθηκε 1347 φορές

O μέσον της

. Είναι τότε OM||=1/2 BP

(1) &

(2) και επειδή BP=CQ

έπεται ότι OM=ON

δηλαδή το τρίγωνο MON

είναι ισοσκελές.

Φέρω QK||SB

συνεπώς επειδή MB=MQ

έπεται ότι SM=MK

άρα

παραλληλόγραμμο άρα SB=QK

.

Είναι όμως για τις γωνίες QKT=OMN=MNO=KTQ

συνεπώς τρίγωνο KQT

ισοσκελές και QT=QK=BS

οεδ

ii) Επειδή QK||AS

και τριγ

ισοσκελές έχουμε (γωνίες) AST= QKT=QTK

άρα

ισοσκελές, συνεπώς AS=AT

STOPJOHN · #7

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 14, 2020 7:00 pm
Απρόοπτη ισότητα.pngΣτις πλευρές , τριγώνου , θεωρούμε σημεία αντίστοιχα , ώστε : .

Η ευθεία η οποία διέρχεται από τα μέσα των , τέμνει τις στα σημεία ,

αντίστοιχα . Δείξτε ότι : και : .

Για το δεύτερο ερώτημα AS=AT

.

Κατασκευάζω το παραλληλόγραμμο BSTK

Τότε το τρίγωνο QTK

είναι ισοσκελές και

BS=TK=QT

ακόμη

αρα

$QT=TJ=TK\Rightarrow \hat{QKT}=90^{0}, QK\perp BK,QK\perp ST,\hat{QTM}=\hat{MTK}=\hat{AST}$

Απρόοπτη ισότητα

Απρόοπτη ισότητα

Re: Απρόοπτη ισότητα

Re: Απρόοπτη ισότητα

Re: Απρόοπτη ισότητα

Re: Απρόοπτη ισότητα

Re: Απρόοπτη ισότητα

Re: Απρόοπτη ισότητα

Μέλη σε σύνδεση