Τετράγωνο και ίσα τρίγωνα !

[Μπάμπης Στεργίου]

Η εκφώνηση δίνεται στο σχήμα. Πρόκειται για μια απλή άσκηση , για τη σχολική τάξη , που επιδέχεται αρκετές λύσεις.

ΣΧΟΛΙΟ

Από παραδρομή, στα δεδομένα έχει γραφεί ότι ΑΕ = ΕΒ, αντί του ορθού

ΑΕ =ΕΔ .

Ευχαριστώ όλους τους συναδέλφους που μου το επεσήμαναν.

[Γιώργος Ρίζος]

Μία λύση στο όμορφο πρόβλημα του Μπάμπη:

tetragono 05.png (6.43 KiB) Προβλήθηκε 4432 φορές

Τα ισοσκελή τρίγωνα ΑΒΖ και ΑΕΔ είναι ίσα, αφού έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, οπότε 2ω + 60° = 90° <=> ω = 15°.
Έστω α η πλευρά των ισοπλεύρων, οπότε και ΔΕ = α.
Τότε, διαδοχικά, βρίσκουμε ότι ΔΕΗ ισοσκελές και ορθογώνιο, άρα ΔΗ = .
Φέρνουμε ΗΚ κάθετη στη ΔΓ.
Το ΚΗΔ είναι ορθογώνιο με γωνία 30°, άρα .
Επειδή τα τετράπλευρα ΕΔΓΗ και ΖΗΓΒ είναι ίσα (αποδεικνύεται εύκολα, χωρίζοντάς τα σε τρίγωνα), η ΓΗ σχηματίζει γωνία 45° με τη ΓΔ.
Οπότε άρα ΓΗ = ΔΕ.

Γιώργος Ρίζος

Μπάμπη, εννοείται ασφαλώς ότι στην εκφώνηση είναι ΑΕ = ΕΔ αντί (ΑΕ =ΕΒ).

[fmak65]

καταρχην το σχημα ειναι παραπλανητικο. αφου τα τριγωνα ειναι ισοπλευρα και εχουν κοινη πλευρα την ΕΖ τοτε ολες οι πλευρες ειναι ισες. Επισης αφου ΑΕ = ΕΒ & ΑΖ = ΖΒ τα Ε,Ζ ανηκουν στην μεσοκαθετο της ΑΒ και ομοια η ΑΒ ειναι μεσοκαθετος της ΕΖ( εστω Μ το σημειο τομης οποτε ΑΜ = ΜΒ). Αφου τα τριγωνα ΑΔΖ & ΔΖΗ ισα και ισοπλευρα το ιδιο θα ισχυει και για τα ΑΜ = ΜΗ οποτε τα Η & Β πρεπει να συμπιπτουν. Επισης οι γωνιες ΒΑΕ & ΑΒΕ ειναι ισες μεταξυ τους και ισες με 30 μοιρες αφου ΑΒ διαμεσος σε ισοπλευρα τριγωνα αρα και διχοτομοι & υψη.
Αν προεκτεινω τις ΑΕ & ΒΕ τεμνουν τις ΒΓ & ΑΔ στα Ι & Κ αντιστοιχα, και οι γωνιες ΑΙΒ & ΑΚΒ ειναι 60 μοιρες αφου τα τριγωνα ΑΙΒ & ΑΚΒ ειναι ορθογωνια με την μια γωνια 30 μοιρων. Οποτε τα τριγωνα ΑΚΕ & ΒΙΕ ειναι ισοπλευρα αφου εχουν 2 γωνιες 60 μοιρων( γιατι ΙΑΚ & ΙΒΚ γωνιες συμπληρωματικες των ΒΑΖ & ΑΒΖ που ειναι 30 μοιρων) και αφου ΑΕ=ΕΒ απο υποθεση εχουν και ολες τις πλευρες ισες.
Αφου ΑΒΓΔ τετραγωνο αρα ολες οι πλευρες ισες και αφου ΑΚ = ΒΙ τοτε και ΔΚ = ΙΓ. Αφου οι γωνιες ΑΚΒ & ΑΙΒ = 60 μοιρες , τοτε και ΔΚΕ & ΓΙΕ γωνιες 120 μοιρες ως παραπληρωματικες των προηγουμενων.
Τα τριγωνα ΚΔΕ & ΙΓΕ ειναι ισα αφου εχουν δυο πλευρες ισες ( ΔΚ = ΙΓ & ΚΕ = ΙΕ) και την περιεχομενη γωνια ιση.
οποτε εχουν ολα τα αντιστοιχα στοιχεια ισα , αρα ΔΕ = ΓΕ το οποιο μαλλον πρεπει να ειναι το ζητουμενο γιατι αν ισχυε το ζητουμενο τοτε θα επρεπε το τριγωνο ΓΕΒ να ηταν ισοπλευρο αφου θα ειχε 2 πλευρες ισες και μια γωνια 60 μοιρες, και αφου το τριγωνο ΕΒΙ ειναι ισοπλευρο θα επρεπε ΓΕ = ΕΙ δηλ. το τριγωνο ΓΕΙ θα ηταν ισοσκελες το οποιο ειναι ατοπο αφου η παρα την βαση γωνια ειναι 120 μοιρες.


Βλεπω οτι ο Γιωργος βρηκε το σωστο λαθος της ασκησης αλλα αφου το εγραψα το αφηνω για να το δουνε και αλλοι.

[Μπάμπης Στεργίου]

...................................

Μπάμπη, εννοείται ασφαλώς ότι στην εκφώνηση είναι ΑΕ = ΕΔ αντί (ΑΕ =ΕΒ).

Γιώργο ναι ! Σε ευχαριστώ πολύ.

Μπάμπης

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητέ παλιέ φίλε Μπάμπη, χαίρομαι που κάνω την αρχή μου στο Μathematica.gr με τη συνημμένη απόδειξη, σε μία κομψή Γεωμετρική Πρόταση που προτείνεις για απόδειξη.

[p_gianno]

Μία ακόμη απόδειξη

tetrag.pdf

(53.94 KiB) Μεταφορτώθηκε 165 φορές

Π.Γ

[ΝΙΚΟΣ]

Μία άλλη απόδειξή μας, δίνουμε στο συνημμένο 2.




Νίκος Κυριαζής.

[cretanman]

Θα ήθελα να καλωσορίσω στο mathematica τον εξαιρετικό ΓΕΩΜΕΤΡΗ Νίκο Κυριαζή του οποίου αποδείξεις/λύσεις και προτάσεις έχουμε διαβάσει σε αρκετά περιοδικά/βιβλία ελληνικά αλλά και ξένα!!

Νίκο αν και δε σε γνωρίζω προσωπικά ΚΑΛΩΣΟΡΙΣΕΣ στην παρέα μας!

Με εκτίμηση,

Αλέξανδρος Συγκελάκης

[chris_gatos]

Καλησπέρα!
Εγω , απλά και μόνο λόγω ονόματος καλωσορίζω το Νίκο Κυριαζή!!
Τώρα πια δεν είμαι μόνος!
Χιούμορ κάνω, ο Νίκος Κυριαζής πράγματι είναι εξαιρετικός γεωμέτρης και είναι τιμή μας να βρίσκεται και αυτός στο φόρουμ και να μας δινει τα φώτα του.

[AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ]

Να συνεισφέρω και εγώ μια ακόμη λύση (καλωσορίζοντας το νέο μας μέλος τον Νίκο Κυριαζή):
Με πλευρά ΓΔ, κατασκευάζω στο εσωτερικό του τετραγώνου, ισόπλευρο τρίγωνο ΓΔΖ'. Με υπολογισμό των γωνιών του ΑΒΖ', προκύπτει εύκολα ότι αυτές είναι 15, 15 και 150. Επομένως το Ζ' ταυτίζεται με το Ζ.
Το ΕΔ είναι η εικόνα του ΗΓ, μέσω στροφής κέντρου Ζ και γωνίας π/3.
ΑΝΔΡΕΑΣ

[Μπάμπης Στεργίου]

Μία άλλη απόδειξή μας, δίνουμε στο συνημμένο 2.

Νίκος Κυριαζής.

Καλωσορίζω και γω επίσημα τον εκλεκτό και πολυβραβευμένο γεωμέτρη Νίκο Κυριαζή.

Εχει γράψει την περίφημη πολύτομη γεωμετρία που σιγά - σιγά όλοι πρέπει να ποκτήσουν , αλλά και πολλά άρθρα σε περιοδικά.

Η παρουσία του εδώ , τιμά όλους μας. Του εύχομαι να είναι γερός και να μας εφοδιάζει με νέες και πρωτότυπες λύσεις στα θέματα που συζητάμε.

Μπάμπης

[cretanman]

Να συνεισφέρω και εγώ μια ακόμη λύση (καλωσορίζοντας το νέο μας μέλος τον Νίκο Κυριαζή):
Με πλευρά ΓΔ, κατασκευάζω στο εσωτερικό του τετραγώνου, ισόπλευρο τρίγωνο ΓΔΖ'. Με υπολογισμό των γωνιών του ΑΒΖ', προκύπτει εύκολα ότι αυτές είναι 15, 15 και 150. Επομένως το Ζ' ταυτίζεται με το Ζ.
Το ΕΔ είναι η εικόνα του ΗΓ, μέσω στροφής κέντρου Ζ και γωνίας π/3.
ΑΝΔΡΕΑΣ

Ανδρέα η λύση σου είναι απολαυστικότατη!!

Αλέξανδρος

[ΝΙΚΟΣ]

Ανδρέα, η απόδειξή σου είναι πάρα πολύ κομψή. Συνχαριτήρια!!!




Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι* Αλέξανδρε, ξάδελφε Χρήστο** Ανδρέα και Μπάμπη, καλώς σας βρίσκω συγκεντρωμένους στο mathematica. Σας ευχαριστώ πολύ για τη θερμή σας υποδοχή και τα καλά σας λόγια. Να είστε όλοι καλά.
Ομολογώ ότι με κάνατε να ψιλώσω αρκετούς πόντους, αλλά το είχα ανάγκη, καθώς έχω έλλειμμα ύψους.
Είναι γεγονός ότι υπερβάλλεται, αφού εγώ δεν αισθάνομαι όπως με χαρακτηρίζεται. Μάλιστα δε σας κρύβω, ότι στην αρχή διερωτήθηκα αν απευθυνόσαστε σε μένα ή σε άλλον και είχε γίνει λάθος, Τούτο όμως ήλθε να το επιβεβαιώσει το μήνυμα του Μπάμπη, που με γνωρίζει. Εκείνο όμως που τελικά πιστεύω για μένα είναι ότι, είμαι κι' εγώ ένας ακούραστος εργάτης της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. που είναι το χόμπι μου.
Εγώ τι να πρωτοπώ για όλους εσάς και τον καθένα σας χωριστά, για τις τόσες επιτυχίες σας; Να είστε γεροί να σας απολαμβάνω.
Πάμε λοιπόν παρέα όλοι μαζί και θα τα λέμε πολύ συχνά με όλους σας και με τον καθένα σας χωριστά. όσο οι δυνάμεις μου και οι υποχρεώσεις μου (εγγόνια κτλ), το επιτρέπουν. Με πολύ αγάπη και εκτίμηση.

Νίκος Κυριαζής.

Διευκρινίσεις.
*Φίλους θεωρώ όλους εκείνους που αγαπούν τα Μαθηματικά και ιδιαιτέρα τη Γεωμετρία και εργάζονται γι' αυτά.
**Έτσι αποκαλώ όλους τους συνονόματους μου.

[AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ]

Ευχαριστώ για τα καλά σας λόγια και χαίρομαι που επιβεβαιώνεται για μία ακόμα φορά ότι στον ιστότοπό μας έχουμε να κάνουμε με ανθρώπους με μικρό παρονομαστή και μεγάλο αριθμητή.(Ο άνθρωπος είναι σαν το κλάσμα, ο αριθμητής είναι αυτός που είναι στην πραγματικότητα , ενώ ο παρονομαστής αυτό που πιστεύει για τον εαυτό του. Όσο μεγαλύτερος ο παρονομαστής τόσο μικρότερο και το κλάσμα... όπως γράφει και ο Μάκης)
Η ιδέα της λύσης μου είναι δανεισμένη από μία αρκετά γνωστή άσκηση:
Αν στο εσωτερικό τετραγώνου ΑΒΓΔ κατασκευάσουμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΜ με γωνίες βάσης ΑΒ ίσες με 15 μοίρες, τότε το τρίγωνο ΓΔΜ είναι ισόπλευρο.
ΑΝΔΡΕΑΣ

[Φωτεινή]

μία αρκετά γνωστή άσκηση:
Αν στο εσωτερικό τετραγώνου ΑΒΓΔ κατασκευάσουμε ισοσκελές τρίγωνο ΓΜΔ με γωνίες βάσης ΓΔ ίσες με 15 μοίρες, τότε το τρίγωνο ΑΒΜ είναι ισόπλευρο.
ΑΝΔΡΕΑΣ

και το σχήμα...