Εκεί και το ορθόκεντρο
Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος
Εκεί και το ορθόκεντρο
ενώνει τα μέσα των πλευρών . Βρείτε τρόπους κατασκευής τέτοιων τριγώνων .
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Εκεί και το ορθόκεντρο
1) παίρνω τυχαίο κύκλο με κέντρο το Β.
2) σε τυχαίο σημείο Η του κύκλου φέρνω εφαπτομένη στον κύκλο. (άρα ΒΗ κάθετη στην εφαπτομένη).
3) ενώνω το Β με σημείο Ν τις εφαπτομένης και παίρνω στην προέκταση σημείο Α ώστε ΒΝ=ΝΑ.
4) φέρω την ευθεία ΑΗ και στην προέκταση της, φέρω κάθετη σε αυτή από το Β που τέμνει την εφαπτομένη στο Μ.
5) παίρνω στην ΒΜ σημείο Γ, ώστε ΒΜ=ΜΓ.
Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι το ζητούμενο, γιατί
1) Ν, Μ μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, (έτσι κατασκευάστηκαν) οπότε .
2) Η ορθόκεντρο επειδή ΒΗ κάθετη στην ΝΜ( εφαπτόμενη) άρα και κάθετη στην παράλληλη της ΑΓ, και ΑΗ κάθετη στην ΒΓ γιατί έτσι κατασκευάστηκε.
2) σε τυχαίο σημείο Η του κύκλου φέρνω εφαπτομένη στον κύκλο. (άρα ΒΗ κάθετη στην εφαπτομένη).
3) ενώνω το Β με σημείο Ν τις εφαπτομένης και παίρνω στην προέκταση σημείο Α ώστε ΒΝ=ΝΑ.
4) φέρω την ευθεία ΑΗ και στην προέκταση της, φέρω κάθετη σε αυτή από το Β που τέμνει την εφαπτομένη στο Μ.
5) παίρνω στην ΒΜ σημείο Γ, ώστε ΒΜ=ΜΓ.
Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι το ζητούμενο, γιατί
1) Ν, Μ μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, (έτσι κατασκευάστηκαν) οπότε .
2) Η ορθόκεντρο επειδή ΒΗ κάθετη στην ΝΜ( εφαπτόμενη) άρα και κάθετη στην παράλληλη της ΑΓ, και ΑΗ κάθετη στην ΒΓ γιατί έτσι κατασκευάστηκε.
Μαραντιδης Φωτης
Re: Εκεί και το ορθόκεντρο
Με διάμετρο τυχαίο τμήμα γράφω ημικύκλιο . Έστω τυχαίο του σημείο .
Φέρνω την ευθεία και θεωρώ το συμμετρικό, , του ως προς . Η από το παράλληλη στην τέμνει την στο και την στο .
Το είναι αυτό που θέλω.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Εκεί και το ορθόκεντρο
Δείξτε ότι αυτό συμβαίνει αν και μόνο αν .
Αυτό μπορεί να μας δώσει και τρόπους κατασκευής. Τοποθετούμε π.χ. το στο , το στο και κατασκευάζουμε τις ευθείες και . Αν το σημείο τομής τους, το τρίγωνο ικανοποιεί το ζητούμενο. (Υπάρχουν άπειρες τιμές του που η κατασκευή γίνεται με κανόνα και διαβήτη.)
Αυτό μπορεί να μας δώσει και τρόπους κατασκευής. Τοποθετούμε π.χ. το στο , το στο και κατασκευάζουμε τις ευθείες και . Αν το σημείο τομής τους, το τρίγωνο ικανοποιεί το ζητούμενο. (Υπάρχουν άπειρες τιμές του που η κατασκευή γίνεται με κανόνα και διαβήτη.)
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: Εκεί και το ορθόκεντρο
Από ν. ημιτόνων στο τρίγωνο είναι .
Όμως .
Εμείς θέλουμε να ισχύει ότι , επομένως θέλουμε .
Εφαρμόζοντας την , παίρνουμε .
Αυτή γράφεται κλπ...
Όμως .
Εμείς θέλουμε να ισχύει ότι , επομένως θέλουμε .
Εφαρμόζοντας την , παίρνουμε .
Αυτή γράφεται κλπ...
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Εκεί και το ορθόκεντρο
Επανέρχομαι με πληρέστερη κατασκευή βασιζόμενος στη συνθήκη .
1. Ξεκινάω με το τμήμα .
2. Φέρνω την κάθετη στο στο σημείο και παίρνω σημείο σε αυτήν την κάθετη.
3. Έστω το μέσο του .
4. Έστω το σημείο τομής της με την κάθετη από το στην .
Τότε έχουμε και άρα η κατασκευή ικανοποιεί το ζητούμενο.
1. Ξεκινάω με το τμήμα .
2. Φέρνω την κάθετη στο στο σημείο και παίρνω σημείο σε αυτήν την κάθετη.
3. Έστω το μέσο του .
4. Έστω το σημείο τομής της με την κάθετη από το στην .
Τότε έχουμε και άρα η κατασκευή ικανοποιεί το ζητούμενο.
Re: Εκεί και το ορθόκεντρο
Με βάση την ημετέρα κατασκευήDemetres έγραψε: ↑Τετ Σεπ 06, 2023 9:19 amΔείξτε ότι αυτό συμβαίνει αν και μόνο αν .
Αυτό μπορεί να μας δώσει και τρόπους κατασκευής. Τοποθετούμε π.χ. το στο , το στο και κατασκευάζουμε τις ευθείες και . Αν το σημείο τομής τους, το τρίγωνο ικανοποιεί το ζητούμενο. (Υπάρχουν άπειρες τιμές του που η κατασκευή γίνεται με κανόνα και διαβήτη.)
.
.
που ισχύει γιατί : .
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13354
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες