Εκεί και το ορθόκεντρο

KARKAR · #1

: Εκεί και το ορθόκεντρο.png (7.52 KiB) Προβλήθηκε 1980 φορές

Στο τρίγωνο ABC

του σχήματος , το ορθόκεντρο

ανήκει στο τμήμα

, το οποίο

ενώνει τα μέσα των πλευρών AB , BC

. Βρείτε τρόπους κατασκευής τέτοιων τριγώνων .

fmak65 · #2

1) παίρνω τυχαίο κύκλο με κέντρο το Β.
2) σε τυχαίο σημείο Η του κύκλου φέρνω εφαπτομένη στον κύκλο. (άρα ΒΗ κάθετη στην εφαπτομένη).
3) ενώνω το Β με σημείο Ν τις εφαπτομένης και παίρνω στην προέκταση σημείο Α ώστε ΒΝ=ΝΑ.
4) φέρω την ευθεία ΑΗ και στην προέκταση της, φέρω κάθετη σε αυτή από το Β που τέμνει την εφαπτομένη στο Μ.
5) παίρνω στην ΒΜ σημείο Γ, ώστε ΒΜ=ΜΓ.
Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι το ζητούμενο, γιατί
1) Ν, Μ μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, (έτσι κατασκευάστηκαν) οπότε $MN//= \frac{A\Gamma }{2}$ .
2) Η ορθόκεντρο επειδή ΒΗ κάθετη στην ΝΜ( εφαπτόμενη) άρα και κάθετη στην παράλληλη της ΑΓ, και ΑΗ κάθετη στην ΒΓ γιατί έτσι κατασκευάστηκε.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 05, 2023 10:50 am
Εκεί και το ορθόκεντρο.pngΣτο τρίγωνο του σχήματος , το ορθόκεντρο ανήκει στο τμήμα , το οποίο

ενώνει τα μέσα των πλευρών . Βρείτε τρόπους κατασκευής τέτοιων τριγώνων .

Με διάμετρο τυχαίο τμήμα

γράφω ημικύκλιο . Έστω τυχαίο του σημείο

.

Φέρνω την ευθεία $HD \bot BM$ και θεωρώ το συμμετρικό,

, του

ως προς

.

: Εκεί το ορθόκεντρο_1.png (14.8 KiB) Προβλήθηκε 1917 φορές

Η από το

παράλληλη στην

τέμνει την

στο

και την

στο

.

Το $\vartriangle ABC$ είναι αυτό που θέλω.

: Εκεί το ορθόκεντρο_2.png (13.85 KiB) Προβλήθηκε 1920 φορές

#4

Δείξτε ότι αυτό συμβαίνει αν και μόνο αν $\tan(A)\tan(C) = 2$ .

Αυτό μπορεί να μας δώσει και τρόπους κατασκευής. Τοποθετούμε π.χ. το

στο

, το

στο

και κατασκευάζουμε τις ευθείες y=kx

και $y = -\frac{2}{k}(x-1)$ . Αν

το σημείο τομής τους, το τρίγωνο ABC

ικανοποιεί το ζητούμενο. (Υπάρχουν άπειρες τιμές του

που η κατασκευή γίνεται με κανόνα και διαβήτη.)

Henri van Aubel · #5

Από ν. ημιτόνων στο τρίγωνο ABH

είναι $\displaystyle \frac{BH}{AB}=\frac{\sin \angle BAH}{\sin \angle AHB}=\frac{\cos B}{\sin \left ( 180^\circ-C \right )}=\frac{\cos B}{\sin C}$ .
Όμως $\displaystyle \frac{BE}{AB}=\sin A$ .

Εμείς θέλουμε να ισχύει ότι BE=2BH

, επομένως θέλουμε $\displaystyle \sin A=\frac{2\cos B}{\sin C}\Leftrightarrow 2\cos B=\sin A\sin C$ .

Εφαρμόζοντας την $\cos B=-\cos \left ( A+C \right )=\sin A\sin C-\cos A\cos C$ , παίρνουμε $2\left ( \sin A\sin C-\cos A\cos C \right )=\sin A\sin C$ .

Αυτή γράφεται $\sin A\sin C=2\cos A\cos C\Leftrightarrow \tan A\tan C=2$ κλπ...

#6

Επανέρχομαι με πληρέστερη κατασκευή βασιζόμενος στη συνθήκη $\tan(A)\tan(C) = 2$ .

1. Ξεκινάω με το τμήμα

.
2. Φέρνω την κάθετη στο

στο σημείο

και παίρνω σημείο $D \neq C$ σε αυτήν την κάθετη.
3. Έστω

το μέσο του

.
4. Έστω

το σημείο τομής της

με την κάθετη από το

στην

.

Τότε έχουμε $\displaystyle \tan(A)\tan(C) = \tan(A)\tan(\angle AMC) = \frac{DC}{AC} \cdot \frac{AC}{MC} = 2$ και άρα η κατασκευή ικανοποιεί το ζητούμενο.

: construction.png (5.02 KiB) Προβλήθηκε 1801 φορές

#7

Demetres έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 06, 2023 9:19 am
Δείξτε ότι αυτό συμβαίνει αν και μόνο αν $\tan(A)\tan(C) = 2$ .

Αυτό μπορεί να μας δώσει και τρόπους κατασκευής. Τοποθετούμε π.χ. το στο , το στο και κατασκευάζουμε τις ευθείες και $y = -\frac{2}{k}(x-1)$ . Αν το σημείο τομής τους, το τρίγωνο ικανοποιεί το ζητούμενο. (Υπάρχουν άπειρες τιμές του που η κατασκευή γίνεται με κανόνα και διαβήτη.)

Με βάση την ημετέρα κατασκευή
.

: Μια όμορφη καθετότητα_new_Demetres _ok.png (16.09 KiB) Προβλήθηκε 1755 φορές

.
$\tan A \cdot \tan C = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{EB}}{{EA}} \cdot \dfrac{{EB}}{{EC}} = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{2HE}}{{EA}} \cdot \dfrac{{2BH}}{{2HM}} = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{HE}}{{EA}} = \dfrac{{HM}}{{HB}}$ που ισχύει γιατί : $\vartriangle HEA \approx \vartriangle MHB$ .

#8

Δείτε εδώ και άλλες ιδιότητες.

Εκεί και το ορθόκεντρο

Εκεί και το ορθόκεντρο

Re: Εκεί και το ορθόκεντρο

Re: Εκεί και το ορθόκεντρο

Re: Εκεί και το ορθόκεντρο

Re: Εκεί και το ορθόκεντρο

Re: Εκεί και το ορθόκεντρο

Re: Εκεί και το ορθόκεντρο

Re: Εκεί και το ορθόκεντρο

Μέλη σε σύνδεση