Διά του ορθοκέντρου

KARKAR · #1

Τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Σημείο

βρίσκεται επί του τόξου $\overset{\frown}{BC}$ , που δεν περιέχει

το

, και έστωσαν

και

τα συμμετρικά του

, ως προς τις ευθείες

και

αντίστοιχα .

Δείξτε ότι η ευθεία

, διέρχεται από το ορθόκεντρο

, του τριγώνου

Grigoris K. · #2

Καλησπέρα κ. Θανάση. Μία ιδέα:

Ονομάζω

το μέσο του

και

το μέσο του

.

Επιπλέον φέρω $SA' \perp BC$ και ως γνωστόν τα C',A',B'

ανήκουν στην ευθεία Simson

του $\triangle ABC$ .

Όμως γνωρίζουμε (βασική ιδιότητα) ότι η ευθεία Simson

διχοτομεί το ευθ. τμήμα

. Έστω $M \equiv (Simson) \cap HS$ .

Στο $\triangle PSH$ τα B', M

είναι μέσα άρα $B'M \parallel PH$ . Ομοίως στο $\triangle SQH$ ισχύει $C'M \parallel HQ$ .

Συνεπώς είναι $\displaystyle{(Simson) \parallel PH~ \wedge ~(Simson) \parallel QH \Rightarrow P,H,Q}$ συνευθειακά.

#3

Grigoris K. έγραψε:Καλησπέρα κ. Θανάση. Μία ιδέα:

Ονομάζω το μέσο του και το μέσο του .

Επιπλέον φέρω $SA' \perp BC$ και ως γνωστόν τα ανήκουν στην ευθεία του $\triangle ABC$ .

Όμως γνωρίζουμε (βασική ιδιότητα) ότι η ευθεία διχοτομεί το ευθ. τμήμα . Έστω $M \equiv (Simson) \cap HS$ .

ΓΡΗΓΟΡΗ ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ.png (38.21 KiB) Προβλήθηκε 895 φορές

Στο $\triangle PSH$ τα είναι μέσα άρα $B'M \parallel PH$ . Ομοίως στο $\triangle SQH$ ισχύει $C'M \parallel HQ$ .

Συνεπώς είναι $\displaystyle{(Simson) \parallel PH~ \wedge ~(Simson) \parallel QH \Rightarrow P,H,Q}$ συνευθειακά.

Γρηγόρη!!! για την ονομαστική σου εορτή θέλω να σου ευχηθώ ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ και ΚΑΛΗ ΠΡΟΟΔΟ στους ΣΤΟΧΟΥ ΣΟΥ

Το ελάχιστο δώρο που μπορώ να σου κάνω είναι το σχήμα για την ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ που έχεις δώσει εδώ

και απλά θέλω να σου πω ότι παρακολουθούμε την εξέλιξή σου με ...."ΚΟΜΕΝΗ ΤΗΝ ΑΝΑΣΑ" .

Είσαι ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟΣ !!!!

Φιλικά
Στάθης

Υ.Σ. Στο συνημμένο αρχείο θα βρείτε την απόδειξη της "βασικής πρότασης"

στην οποία αναφέρεται ο Γρηγόρης ότι δηλαδή η ευθεία Simson σημείου Μ διχοτομεί το ευθύγραμμο τμήμα ΜΗ όπου Η είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου

#4

KARKAR έγραψε:Τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Σημείο βρίσκεται επί του τόξου $\overset{\frown}{BC}$ , που δεν περιέχει

το , και έστωσαν και τα συμμετρικά του , ως προς τις ευθείες και αντίστοιχα .

Δείξτε ότι η ευθεία , διέρχεται από το ορθόκεντρο , του τριγώνου

Ένας διαφορετικός τρόπος αντιμετώπισης μόνο για λόγους Πλουραλισμού μετά τη λύση του ΑΡΙΣΤΟΥ Γρηγόρη.

: 1.png (45.31 KiB) Προβλήθηκε 800 φορές

Έστω $\displaystyle{ BD,CZ }$ τα ύψη του τριγώνου $\displaystyle{ \vartriangle ABC }$ και $\displaystyle{ B' \equiv BD \cap \left( O \right),\,\,C' \equiv CZ \cap \left( O \right)\, }$ με $\displaystyle{ BD \cap CZ \equiv H }$ το ορθόκεντρο του $\displaystyle{ \vartriangle ABC }$ .

Τότε είναι γνωστό ότι $\displaystyle{ D,Z }$ είναι τα μέσα των $\displaystyle{ HB',HC' }$ αντίστοιχα, (τα συμμετρικά του ορθοκέντρου ως προς τις πλευρές του τριγώνου είναι σημεία του περικυκλίου του).

Τότε τα $\displaystyle{ SQB'H,SHC'P }$ είναι ισοσκελή τραπέζια (το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα των βάσεων είναι κάθετο σε αυτές)

με άξονες συμμετρίας τις $\displaystyle{ AC,AB }$ αντίστοιχα. Τότε : $\displaystyle{ \boxed{\widehat{C'HP} = \widehat{SC'C}}:\left( 1 \right) }$ (συμμετρικές ως προς την $\displaystyle{ AB }$ και $\displaystyle{ \boxed{\widehat{CHQ} = \widehat{SB'C}}:\left( 2 \right) }$ (συμμετρικές ως προς την $\displaystyle{ AC }$ ).

Αλλά $\displaystyle{ \widehat{SB'C}\mathop = \limits^{\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \varepsilon \varsigma \,\,\sigma \tau o\,\,\iota \delta \iota o\,\,\tau o\xi o\,\,SC\,\,\tau o\upsilon \,\,\left( O \right)} \widehat{SC'C}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right),\left( 2 \right)} \,\,\widehat{C'HP} = \widehat{SB'C} }$ και επειδή τα σημεία $\displaystyle{ C,H,C' }$ είναι συνευθειακά (επι του ύψους από το $\displaystyle{ C }$ )

θα είναι και $\displaystyle{ P,H,Q }$ συνευθειακά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

KARKAR · #5

Εδώ οφείλουμε , ένα εύγε στο Στάθη και για την αντιμετώπιση του "φαινομένου Γρηγόρης " , και για την προσφορά

της απόδειξης ενός , μάλλον σπάνια χρησιμοποιούμενου , Θεωρήματος , αλλά κυρίως για την έξοχη λύση του θέματος !

Διά του ορθοκέντρου

Διά του ορθοκέντρου

Re: Διά του ορθοκέντρου

Re: Διά του ορθοκέντρου

Re: Διά του ορθοκέντρου

Re: Διά του ορθοκέντρου

Μέλη σε σύνδεση