Αντέχει στον ... Κρόνο
Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας
Αντέχει στον ... Κρόνο
Σχεδιάζουμε το ορθογώνιο και ισοσκελές . Βρείτε το γεωμετρικό τόπο της κορυφής .
Σημείωση αργότερα : Πειραματιστείτε στην έλλειψη με εξίσωση :
Re: Αντέχει στον ... Κρόνο
Για...διασκέδαση!!!
Επαναφορά!!
Επαναφορά!!
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5267
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Αντέχει στον ... Κρόνο
Θανάση καλησπέρα...
Αναρτώ μια λύση της άσκησης αυτής και κάποιες προεκτάσεις...
Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:
Στο ανωτέρω σχήμα θεωρήθηκε για απλούστερη μελέτη ότι η ακτίνα του δοθέντος κύκλου
είναι η μονάδα.
Ακόμα εύκολα διαπιστώνεται τριγωνομετρικά ότι είναι:
Έτσι όπως φαίνονται και στο σχήμα οι συντεταγμένες των σημείων και αφού είναι
θα είναι:
Αν τώρα θεωρήσουμε ένα νέο σύστημα αξόνων με αρχή το σημείο και με ομόρροπους άξονες
ως προς το αρχικό τότε οι νέες συντεταγμένες των θα είναι:
και μετά από εύκολες πράξεις θα είναι:
Αν τώρα εφαρμόσω στο σημείο τη στροφή με κέντρο το σημείο και με γωνία ίση με τότε
θα προκύψουν οι συντεταγμένες του σημείου του οποίου ζητούμε το γ. τόπο.
Η στροφή γίνεται σύμφωνα με τον πίνακα στροφής:
Άρα:
Δηλαδή θα είνα τελικά:
Οι συντεταγμένες τώρα του σημείου ως προς το αρχικό σύστημα θα είναι:
Οι σχέσεις (9) και (10) μετά από πράξεις δίνουν το σύστημα ως προς αγνώστους :
Λύνοντας το σύστημα αυτό έχουμε :
Αν τώρα τις τιμές των (11) και (12) τις αντικαταστήσουμε στην ταυτότητα:
τότε μετά από πράξεις θα καταλήξουμε στην εξίσωση της γραμμής που διαγράφει το σημείο
δηλαδή στην εξίσωση:
η οποία είναι μια έλλειψη και είνα αυτή που σημειώνεται στην εκφώνηση του προβλήματος αυτού.
Κώστας Δόρτσιος
(Συνεχίζεται...)
Re: Αντέχει στον ... Κρόνο
Καλησπέρα...
(1η Συνέχεια...)
Αναρτώ το σχήμα όπου φαίνεται ο γ. τόπος του ανωτέρω προβλήματος καθώς και
το δυναμικό σχήμα με την κίνηση του σημείου επί του γ. τόπου.
Το δυναμικό σχήμα δίνεται στον ακόλουθο σύνδεσμο:
https://www.geogebra.org/m/hf5y6yzs
Σχόλιο πάνω στον τίτλο "Αντέχει ... στον Κρόνο"
Η αναφορά στον πλανήτη της Γης Κρόνο είναι προφανής και με ώθησε
να κάνω το σχήμα στο χώρο..
Αμέσως διατηρώντας τις ίδιες τιμές του προβλήματος προέκυψε το ακόλουθο σχήμα:
Από ό,τι φαίνεται δεν είναι έτσι ο δακτύλιος. Έτσι μείωσα την ακτίνα του Κρόνου
και προέκυψε το ακόλουθο σχήμα:
Αυτό το σχήμα ανταποκρίνεται πιο καλά στον τίτλο. Όμως επειδή
τα σωματίδια του δακτυλίου περιφέρονται σχεδόν σε κυκλική τροχιά,
(στην πραγματικότητα κινούνται πάντα σε ελλειπτική-1ος Νόμος του Κέπλερ- επειδή
οι αποστάσεις είναι σχετικά μικρές, έκανα ένα άλλο σχήμα πιο "ελεύθερο", σχεδιάζοντας τις τροχιές
αυτές κυκλικές, πιστεύοντας στην καλύτερη αισθητική της εικόνας. Και να το σχήμα:
Και στο σχήμα αυτό ο δακτύλιος "φαίνεται" ελλειπτικός λόγω της προβολής αυτου
σε επίπεδο.
Τέλος στον ακόλουθο σύνδεσμο μπορείτε να παίξετε με τον πλανήτη αυτόν
στο ακόλουθο δυναμικό σχήμα:
https://www.geogebra.org/m/bcbphcny
(Συνεχίζεται...)
Κώατας Δόρτσιος
Re: Αντέχει στον ... Κρόνο
.....................................
Θανάση καλημέρα και σ' ευχαριστώ πολύ...
Πάντα δήλωνα ότι είσαι μια πηγή έμπνευσης και δημιουργίας, αν και
δεν γνωριστήκαμε "εκ του σύνεγγυς", όμως η γνωριμία μας έγινε και
και γίνεται καθημερινά μέσα από αυτόν τον ανιδιοτελή χώρο!
Κλείνω το θέμα αυτό με τον τίτλο "Αντέχει στον... Κρόνο"
θέλοντας να πω κἀτι: Σήμερα στην εποχή της νέας τεχνολογίας στην αναζήτηση
ενός γεωμετρικού τόπου έχουμε μεγάλη βοήθεια από τα λογισμικά που δουλεύουμε.
Αυτή η βοήθεια βέβαια έχει και την αρνητική της πλευρά. Ναι, αν στήσουμε καλά το
πρόβλημα, έχουμε αμέσως την εικονα του ζητούμενου γ. τόπου. Αυτό όως μας στερεί, και
κυρίως τους μαθητές μας, από την καλλιέργεια της δυναμικής φαντασίας. Έτσι στο
σχολείο ο καθηγητής πρέπει αυτό να το λαμβάνει υπόψη του.
Αυτό όμως που δεν μπορούν να κάνουν τα λογισμικά είναι να αποδείξουν, γιατί
η γραμμή αυτή που μας εμφανίζουν είναι ο ζητούμενος γ. τόπος! Αυτό μένει σε
μάς κάθε φορά.
Τέτοιο παράδειγμα είναι η άσκησή σου "Αντέχει στον...Κρόνο"
Κλείνω αναφέροντας μια γενίκευση του ανωτέρω προβλήματος.
Σκεφτόμαστε το παρακάτω σχήμα:
Στο σχήμα αυτό έχουμε αλλάξει την αρχική κατεύθυνση της κινητής χορδής
καθώς επίσης και τη γωνία στροφής αντί της ορθής σε μια τυχαία άλλη.
Τότε και πάλι η τροχιά του σημείου είναι έλλειψη!
Η απόδειξη γίνεται παρόμοια με την αρχική...
Κώστας Δόρτσιος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 2 επισκέπτες