ΑΣΕΠ 2009

#21

Επισυνάπτω τα θέματα για τους μαθηματικούς

Αλέξανδρος

mathxl · #22

Ερώτημα2ο
α
ιιι
Από ιι έχουμε ότι f(x)+f(y)>= $\displaystyle{2f\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right) = 2f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 2\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{\frac{1}{2}}}} \right)^a = 2\left( {\frac{5}{2}} \right)^a = \frac{{5^a }}{{2^{a - 1} }}}$

mathxl · #23

EΡΩΤΗΜΑ 2o
β
Έστω α – 3κ, α – κ, α + κ, α + 3κ οι ζητούμενες παρατηρήσεις
Τότε
$\displaystyle{\displaystyle \begin{array}{l} \bar x = 5 \Leftrightarrow \frac{{a - 3k + a - k + a + k + a + 3k}}{4} = 5 \Leftrightarrow a = 5,\omega = 2k \\ s^2 = \frac{1}{4}\sum\limits_{i = 1}^4 {\left( {t_i - 5} \right)^2 = } \frac{1}{4}\sum\limits_{i = 1}^4 {t^2 _i } - \left( {\bar x} \right)^2 \Leftrightarrow 120 = \left( {5 - 3k} \right)^2 + \left( {5 - k} \right)^2 + \left( {5 + k} \right)^2 + \left( {5 + 3k} \right)^2 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 120 = 100 + 20k^2 \Leftrightarrow k^2 = 1 \Leftrightarrow k = \pm 1 \\ \end{array} }$ Οι παρατηρήσεις είναι οι αριθμοί 2, 4, 6, 8
Σε αυτό το θέμα νομίζω υπάρχει λάθος στην εκφώνηση, αντί της λέξης τιμές πρεπει να μπει παρατηρήσεις εκτός εάν το λύνω λανθασμένα

nmavro · #24

Στο θέμα με το ολοκλήρωμα σε απόλυτη τι βγάζετε;Γιατί ΟΣΕΣ φορές και να έχω κάνει πράξεις δεν βγάζω το σωστό;

giarou · #25

το σωστο στο ολοκλήρωμα νομίζω οτι ήταν το $\displaystyle{\displaystyle 9a^2 }$
Βάζω τις δικές μου απαντήσεις στα πολ.επιλογής
1β
2-
3γ
4β
5γ
6δ
7β
8α
9α
10γ
11-
12γ

sybe · #26

και εγώ αυτό απάντησα...
δεν ξέρω όμως γιατί δεν έκανα επαλήθευση μετά. Δεν πρόλαβα.

#27

Απάντηση στο (1γ)
Ας υποθέσουμε ότι για τα διανύσματα $\vec{x}$ και $\vec{y}$ ισχύει η σχέση $k_1\vec{x} + k_2\vec{y}=\vec{0} \ \ (1)$ . Για να αποδείξουμε ότι είναι γραμμικώς ανεξάρτητα θα υποθέσουμε αντίθετα ότι είναι γραμμικώς εξαρτημένα και θα καταλήξουμε σε άτοπο!

Έστω λοιπόν ότι $k_1\neq 0$ . Τότε υποχρεωτικώς επειδή τα $\vec{x}, \ \vec{y}$ είναι μη μηδενικά, πρέπει $k_2\neq 0$ .

Πολλαπλασιάζουμε την (1)

επί τον πίνακα

άρα $A(k_1\vec{x} + k_2\vec{y})=A\cdot \vec{0}$ άρα χρησιμοποιώντας τα δεδομένα παίρνουμε τελικά ότι:

$\boxed{k_1\lambda_1\vec{x}+k_2\lambda_2\vec{y}=\vec{0}} \ \ (2)$

Πολλαπλασιάζουμε την (1)

επί τον αριθμό $\lambda_1$ άρα παίρνουμε

$\boxed{k_1\lambda_1\vec{x}+k_2\lambda_1\vec{y}=\vec{0}} \ \ (3)$

Αφαιρώντας την (2)

από την

παίρνουμε τελικά $k_2(\lambda_1-\lambda_2)\vec{y}=\vec{0}$ άρα αφού το $\vec{y}$ είναι μη μηδενικό λαμβάνουμε $k_2(\lambda_1-\lambda_2)=0 \Rightarrow \lambda_1=\lambda_2$ , άτοπο από τα δεδομένα της άσκησης.

Άρα k_1=0

απ' όπου

κι έτσι τα διανύσματα $\vec{x}$ και $\vec{y}$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.

Αλέξανδρος

sunnyoeo · #28

το προβλημα με τις ταχυτητες πως λυνοταν?

nmavro · #29

Από όσο λέγαν οι γύρω ΘΜΤ

sybe · #30

θεώρησα συνάρτηση φ(χ) διάστημα με χ χρόνο. Άρα η φ΄(χ) δίνει την ταχύτητα.
Μετά πήρα συνάρτηση g(x) = φ( χ + 3) - 2 φ(χ).
Και έκανα Rolle.
Δεν ξέρω αν είναι σωστό. Είμαι ακόμα ζαλισμένη από την εξέταση.

#31

nmavro έγραψε:Στο θέμα με το ολοκλήρωμα σε απόλυτη τι βγάζετε;Γιατί ΟΣΕΣ φορές και να έχω κάνει πράξεις δεν βγάζω το σωστό;

Γλυτώνεις κόπο αν παρατηρήσεις ότι (x-a)(x-2a)(x-3a) <=0 οπότε βγαίνει "έξω" από το απόλυτο με αλλαγή προσήμου.
Για το υπόλοιπο χωρίζεις το ολοκλήρωμα στα δύο. Απο -α έως 0 και από 0 έως α.

giarou · #32

Η αλήθεια είναι ότι αυτό το θέμα δέν κατάλαβα σε τι μας εξέταζε .Πολύ ''μπακαλίστικο'' μου φάνηκε .Και χρονοβόρο.

#33

sybe έγραψε:θεώρησα συνάρτηση φ(χ) διάστημα με χ χρόνο. Άρα η φ΄(χ) δίνει την ταχύτητα.
Μετά πήρα συνάρτηση g(x) = φ( χ + 3) - 2 φ(χ).
Και έκανα Rolle.
Δεν ξέρω αν είναι σωστό. Είμαι ακόμα ζαλισμένη από την εξέταση.

Μια χαρά είναι η απάντησή σου Sybe.

Απλά για τη συνάρτηση S=f(t)

, (το

σε ώρες) γνωρίζουμε f(0)=0, f(3)=200, f(6)=600

.

Είναι "σίγουρο" (αυτή είναι κρυφή σκέψη που κάνουμε στο πρόχειρο) ότι για κάποια από τις συναρτήσεις g(x)=f(x+3)-2f(x)

είτε για την k(x)=2f(x+3)-f(x)

θα ισχύει το θ. Rolle για να έχουμε το ζητούμενο. Πράγματι δοκιμάζουμε και ισχύει για την g(x) και το θέμα έχει λήξει! Οι λεπτομέρειες είναι εύκολο πράγμα!

Αλέξανδρος

mathxl · #34

μια προσθήκη στην λύση της sybe χ0 ανήκει (0,3)

sybe · #35

δε θυμάμαι καθόλου εξαρτημένα διανύσματα. Και στο 1γ) θεώρησα ότι είναι εξαρτημένα αν υπάρχει αριθμός κ διάφορος του 0 έτσι ώστε χ=κy. Είναι λάθος?

mathfinder · #36

Μία λύση στη γεωμετρία .

#37

Για το 3ο των πολλαπλών επιλογών αρκεί να παρατηρήσει κανείς ότι $\displaystyle cos\left(\frac{\pi}{8}\right)=sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8}\right)=sin\left(\frac{3\pi}{8}\right)$

Πλέον η άσκηση είναι απλή. Θέτουμε $a=\displaystyle sin\left(\frac{3\pi}{8}\right)$ και $b=\displaystyle cos\left(\frac{3\pi}{8}\right).$

Τότε a^2+b^2=1

οπότε

$a^4+b^4=\left(a^2+b^2\right)^2-2a^2b^2=1-2(ab)^2$

Όμως $ab=\displaystyle\frac{sin\frac{6\pi}{8}}{2}=\frac{sin\frac{3\pi}{4}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$

κι έτσι αντικαθιστώντας παραπάνω παίρνουμε $a^4+b^4=\displaystyle\frac{3}{4}$

nmavro · #38

Mihalis_Lambrou έγραψε:
nmavro έγραψε:Στο θέμα με το ολοκλήρωμα σε απόλυτη τι βγάζετε;Γιατί ΟΣΕΣ φορές και να έχω κάνει πράξεις δεν βγάζω το σωστό;
Γλυτώνεις κόπο αν παρατηρήσεις ότι (x-a)(x-2a)(x-3a) <=0 οπότε βγαίνει "έξω" από το απόλυτο με αλλαγή προσήμου.
Για το υπόλοιπο χωρίζεις το ολοκλήρωμα στα δύο. Απο -α έως 0 και από 0 έως α.

Το χώρισα.Έκανα κάπου λάθος στις πράξεις;Αν κάποιος τις έχει κάνει σωστά ας τις ανεβάσει. Πάλι καλά που δεν έκανα λάθος σε απλή διακρίνουσα με το στρες που είχα

mathxl · #39

για το θέμα γεωμετρίας το ι
έχουμε
$\displaystyle{\frac{{\left( {B{\rm K}\Gamma } \right)}}{{\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right)}} = \frac{{\left( {B{\rm K}\Gamma } \right)}}{{\left( {{\rm B}{\rm K}{\rm M}} \right)}} \Leftrightarrow \frac{{{\rm B}{\rm K}}}{{{\rm A}{\rm B}}} = \frac{{{\rm B}\Gamma }}{{{\rm B}{\rm M}}} \Leftrightarrow \frac{{{\rm B}{\rm K}}}{{{\rm A}{\rm B} - {\rm B}{\rm K}}} = \frac{{{\rm B}\Gamma }}{{{\rm B}{\rm M} - {\rm B}\Gamma }} \Leftrightarrow \frac{{{\rm B}{\rm K}}}{{{\rm A}{\rm K}}} = \frac{{{\rm B}\Gamma }}{{\Gamma {\rm M}}}}$ από αντίστροφο θαλή τελειώσαμε

nmavro · #40

giarou έγραψε:Η αλήθεια είναι ότι αυτό το θέμα δέν κατάλαβα σε τι μας εξέταζε .Πολύ ''μπακαλίστικο'' μου φάνηκε .Και χρονοβόρο.

Τα νεύρα μας εξέταζε.Έχασα πολύ ώρα σε αυτό. Νομίζω είναι η πρώτη φορά που δεν μπαίνει ΤΙΠΟΤΑ από θεωρία

ΑΣΕΠ 2009

Τα θέματα του διαγωνισμού Μαθηματικών

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Μέλη σε σύνδεση