πρόβλήματα ελάχιστου δρόμου

[giarou]

Στο παλιό βιβλίο Γεωμετρίας Α' και Β' λυκείου υπάρχουν δυο εργασίες με θέμα τους ελάχιστους δρόμους. Για το μεν πρώτο γνώριζα τη λύση (δυο χωριά πρέπει να συνδεθούν με την εθνική οδό .Σε ποιο σημείο θα κατασκευαστεί ο κόμβος ώστε η διαδρομή από το ένα χωριό στο άλλο να είναι η ελάχιστη ), για το δεύτερο όμως όχι . Αν γνωρίζει κάποιος συνάδελφος που μπορώ να βρω στοιχεία θα ήμουν ευγνώμων.



Από βιασύνη ξέχασα να αναφέρω το πρόβλημα που με απασχολεί. Είναι στη σελίδα 70 του βιβλίου των Θωμαίδη -Ξένου-Παντελίδη -Πούλου-Στάμου και έχει ως εξής :Πρόκειται να γίνει γυμναστήριο που θα εξυπηρετεί 4 κοινότητες . Ποια η θέση του γυμναστηρίου ώστε το συνολικό μήκος των τεσσάρων διαδρομών να είναι ελάχιστο;

[mathxl]

Η άσκηση 1 των σύνθετων θεμάτων του καινούργιου σχολικού βιβλίου στην σελίδα 58 μπορεί να σε βοηθήσει

[Γιώργος Ρίζος]

Αγαπητέ giarou

Έψαξα στο βιβλίο καθηγητή του σχολικού βιβλίου για παραπάνω στοιχεία στο πρόβλημα που θέτεις, αλλά δεν έχει κάτι.
Το πρώτο πρόβλημα είναι απλή εφαρμογή του Προβλήματος του Ήρωνα, αλλά το δεύτερο είναι διαφορετικό (και πολύ πιο ενδιαφέρον).

Μπορείς να βρεις ενδιαφέρουσες πληροφορίες για το πρόβλημα του Ήρωνα και τα παρεμφερή στο βιβλίο των Γ. Θωμαΐδη και Α. Πούλου "Η διδακτική της Ευκλείδιας Γεωμετρίας", εκδ. ΖΗΤΗ., (έκδοση νομίζω 1999).


Διατυπώνω το 2ο ερώτημα (στεγνά) μαθηματικά:
Δίνονται 4 σημεία επιπέδου Α, Β, Γ Δ. Να βρεθεί σημείο Μ του επιπέδου, ώστε το άθροισμά των αποστάσεων του από τα Α, Β, Γ και Δ να είναι το ελάχιστο.

Επειδή στο παλιό σχ. βιβλίο δίνεται σχήμα, στο οποίο φαίνεται ότι τα σημεία δεν είναι συνευθειακά ανά 3 ή 4, δίνω και τις εξής περιπτώσεις:

1. Τα σημεία να είναι συνευθειακά και διαφορετικά μεταξύ τους.
2. Μόνο τα τρία σημεία να είναι συνευθειακά μεταξύ τους.

Φιλικά
Γιώργος Ρίζος

[R BORIS]

Ένα καλό βιβλίο είναι το "Ιστορίες για μέγιστα και ελάχιστα" του Tikhomirov εκδόσεις Κάτοπτρο
και ένα καλό πρόβλημα, για όσους δεν το γνωρίζουν, είναι το δέντρο του Steiner
Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ. Να βρεθεί το σχήμα της διαδρομής ελάχιστου μήκους που ενώνει και τις 4 κορυφές του τετραγώνου
Από όσο ξέρω αν τα Α,Β,Γ,Δ σχηματίζουν τυχαίο τετράπλευρο το πρόβλημα είναι ακόμη ανοικτό

[Γιώργος Ρίζος]

Δίνω σε συνημμένο αρχείο word μια προσέγγιση της πρώτης περίπτωσης.

Γιώργος Ρίζος


Οι κενές ώρες μεταξύ των μαθημάτων στο σχολείο βρήκαν τη χρηστικότητά τους!

[mkouimtzis]

Επίσης, όλες οι περιπτώσεις περιέχονται στα παλιά βιβλία Γεωμετρίας του Κίσκυρα.
Ακόμη, για το δέντρο του Steiner, τις προεκτάσεις και τις εφαρμογές του θα βοηθήσει μία βόλτα στο διαδίκτυο.
Για περισσότερη ανάλυση "Μαθηματική Θεωρία Βελτιστοποίησης" του Πάνου Παρδαλού, Εκδόσεις Νέων Τεχνολογιών και τα διάφορα βιβλία Επιχειρησιακής Έρευνας και Βελτιστοποίησης.

camelot

[Γιώργος Ρίζος]

Σε συνέχεια του προηγούμενου μηνύματός μου, δίνω μια προσέγγιση, χρησιμοποιώντας ανισοτικές σχέσεις σε τρίγωνο, στις εξής περιπτώσεις:

1. Δίνονται 4 συνευθειακά διαφορετικά σημεία Α, Β, Γ Δ. Να βρεθεί σημείο Μ ώστε το άθροισμα των αποστάσεων του Μ από τα Α, Β, Γ και Δ να είναι το ελάχιστο.

2. Δίνονται 3 συνευθειακά διαφορετικά σημεία Α, Β, Γ και σημείο Δ εκτός της ευθείας των Α, Β, Γ. Να βρεθεί σημείο Μ ώστε το άθροισμα των αποστάσεων του Μ από τα Α, Β, Γ και Δ να είναι το ελάχιστο.

3. Δίνεται κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Να βρεθεί σημείο Μ του επιπέδου, ώστε το άθροισμα των αποστάσεων του Μ από τα Α, Β, Γ και Δ να είναι το ελάχιστο.
(Αντιστοιχεί στο αρχικό πρόβλημα που έθεσε ο giarou)

4. Δίνεται μη κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Να βρεθεί σημείο Μ του επιπέδου, ώστε το άθροισμα των αποστάσεων του Μ από τα Α, Β, Γ και Δ να είναι το ελάχιστο.

Ομολογώ ότι για το 4ο κατασκεύασα το σχήμα σε sketchpad και μετακινούσα το Μ, ώστε να επιβεβαιώσω την αρχική διαισθητική εκτίμηση. Το επισυνάπτω και αυτό.

(Διορθώνω: δεν μπορώ να το επισυνάψω, γιατί εμφανίζεται το μήνυμα ότι η επέκταση gsp δεν επιτρέπεται)

Αν υπάρχει κάποια παρατήρηση, ή κάποια συντομότερη αντιμετώπιση, θα ήθελα να τη δω!

Φιλικά,
Γιώργος Ρίζος

[Mihalis_Lambrou]

(Διορθώνω: δεν μπορώ να το επισυνάψω, γιατί εμφανίζεται το μήνυμα ότι η επέκταση gsp δεν επιτρέπεται)

Γιώργο, σώσε το ως .jpg από το Paint (είναι στο μενού "έναρξη" κάτω αριστερά)

[Γιώργος Ρίζος]

Μιχάλη,
ευχαριστώ! Ήθελα, όμως,να το ανεβάσω σε "ανοιχτό" αρχείο schetspad, ώστε όποιος θέλει να διαπιστώσει (εποπτικά), μετακινώντας το Μ για του λόγου το αληθές....
Μήπως να το στείλω σε zip;


Φιλικά
Γιώργος Ρίζος

[cretanman]

Γιώργο καλημέρα,

Πρόσθεσα μόλις τώρα την επέκταση gsp μέσα στις επιτρεπτές επεκτάσεις των συνημμένων. Κάνε μία δοκιμή να δεις εάν είναι ΟΚ.

Αλέξανδρος

[giarou]

Είχα πολλές μέρες να κάτσω στο pc γιαυτό και οι ευχαριστίες μου είναι καθυστερημένες.
ευχαριστώ όλους τους συνάδελφους ( και μη) για την ανταπόκριση .

[Γιώργος Ρίζος]

Θερμές ευχαριστίες στον Αλέξανδρο και σε όλους του συντελεστές του ιστοτόπου για την άμεση ανταπόκριση στις προτάσεις και παρατηρήσεις όλων μας.

Επισυνάπτω ένα αρχείο sketchpad για την 4η περίπτωση (μη κυρτό τετράπλευρο). Έχω την έκδοση 3.12Ν GR, ελπίζω να είναι συμβατό με νεότερες εκδόσεις.

Να πω εδώ ότι έως πρόσφατα δυσπιστούσα ως προς τη χρησιμότητα των εργαλείων αυτών στη μελέτη γεωμετρικών προβλημάτων. Μάλλον επειδή δεν ήθελα να παιδευτώ εξασκούμενος με τη χρήση τους.
Τώρα που μου χρειάστηκαν, ανακάλυψα ότι είναι πολύ εύκολη η χρήση τους και απεριόριστες οι δυνατότητες τους. Πόσες σελίδες χαρτί και πόση ώρα θα χρειαζόμασταν για να δούμε τις διάφορες περιπτώσεις σ' αυτό το θέμα και να σιγουρευτούμε ότι δεν μας ξέφυγε καμμία;

Φιλικά
Γιώργος Ρίζος

EDIT (cretanman): Τώρα πλέον δέχεται και τα .gsp οπότε το βάζω όπως είναι.

[chris_gatos]

Γιώργο να σε συγχαρώ για τον κόπο σου και να προκαλέσω όλους τους μαθητές,να διαβάσουν αυτήν την καταχώρηση και να πειραματιστούν με το αρχείο που επισυνάπτεις...Μακάρι να ήξερα κι εγώ να το χρησιμοποιώ και να φτιάχνω τέτοιες δουλειές...