Μπορεί να ζητηθεί ο γ.τ ;

Λάμπρος Μπαλός · #1

Έστω οι μιγαδικοί z,w

. Αν

, $y \in R$ και ο
γεωμετρικός τόπος του

είναι ο μοναδιαίος κύκλος,
να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου των εικόνων των

και

.

Σημείωση : Έχω λύση, δεν είμαι όμως σίγουρος.
Διόρθωση.. συγγνώμη μου έφυγε ένα 4.

#2

Καλημέρα σε όλους

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Έστω οι μιγαδικοί . Αν , $y \in R$ και ο
γεωμετρικός τόπος του είναι ο μοναδιαίος κύκλος,
να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου των εικόνων των και .

Σημείωση : Έχω λύση, δεν είμαι όμως σίγουρος.
Διόρθωση.. συγγνώμη μου έφυγε ένα 4.

Λάμπρο νομίζω πως ως έτσι δε μπορούμε να το θέσουμε. Ο λόγος: δεν έχουμε καμμία πληροφορία πως "κινείται" ο

σε σχέση με τον $u=4\sin y+4i\cos y$ . Το μέσο του τμήματος με άκρα τις εικόνες των

,

είναι η εικόνα του $z+\frac{u}{2}$ . Αν λ.χ. πάρουμε το $z=\cos y^{2}+i\sin y^{2}$ θα βρούμε τον άκόλουθο τόπο για την εικόνα του μέσου:

: lm.png (146.18 KiB) Προβλήθηκε 1422 φορές

Και το σχετικό αρχείο Geogebra:

lm.ggb: (19.04 KiB) Μεταφορτώθηκε 36 φορές

Μαυρογιάννης

Λάμπρος Μπαλός · #3

Μπράβο. Βρήκατε ακριβώς αυτό που είχα στον νου μου.
Δεν μπορώ όμως να πω πως σαρώνεται ο δακτύλιος;
Δηλαδή για κάθε σημείο του δακτυλίου θα υπάρχει ένας κύκλος με κέντρο στον μεσαίο κύκλο (με ακτίνα 2) που θα διέρχεται από αυτό το σημείο ;
Γιατί έχω την αίσθηση ότι με Ευκλείδεια Γεωμετρία μπορεί να δικαιολογηθεί;
Θα γράψω κάποια στιγμή πιο αναλυτικά.

#4

Ο τόπος δεν είναι όλος ο δακτύλιος αλλά μία καμπύλη μέσα σε αυτόν. Η παραμετρικές της εξισώσεις είναι
$x\left( t\right) =\cos t^{2}+2\sin t$ , $y\left( t\right) =\sin t^{2}+2\cos t$ , $t \in \mathbb{R}$ .
Μαυρογιάνης

Λάμπρος Μπαλός · #5

ευχαριστώ πολύ

#6

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Έστω οι μιγαδικοί . Αν , $y \in R$ και ο
γεωμετρικός τόπος του είναι ο μοναδιαίος κύκλος,
να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου των εικόνων των και .

Απόδειξη ότι ο γ.τ. είναι ο δακτύλιος ανάμεσα στους κύκλους ακτίνων

και

.

Ο ζητούμενος τόπος είναι τα άκρα των μιγαδικών της μορφής $w = z+ 2\cos y + 2 i\sin y= z+v$ όπου $|z|=1, \, |v|=2$ τυχαία.

Έχουμε $|w| = | z+v| \le | z| + |v|=3$ και $|w| = | z+v| \ge | v| -|z|=1$ .

Αντίστροφα, για οποιοδήποτε

στον εν λόγω δακτύλιο (γαλάζιος στο σχήμα), γράφουμε το κύκλο με κέντρο το

κι ακτίνα

(κόκκινος). Αυτός τέμνει τον μεσαίο κύκλο σε ένα σημείο

(αυτό πάντα γίνεται γιατί η απόσταση των κύκλων είναι

. Στο σχήμα το

είναι έξω από τον μεσαίο κύκλο, αλλά δεν αλλάζει τίποτα αν ήταν από μέσα). Φέρνουμε $OC\parallel BA$ . Παρατηρούμε ότι τα $z=OC,\, v=OB$ ικανοποιούν τα δεδομένα.

Φιλικά,

Μιχάλης

Λάμπρος Μπαλός · #7

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Έστω οι μιγαδικοί . Αν , $y \in R$ και ο
γεωμετρικός τόπος του είναι ο μοναδιαίος κύκλος,
να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου των εικόνων των και .
Απόδειξη ότι ο γ.τ. είναι ο δακτύλιος ανάμεσα στους κύκλους ακτίνων και .

Ο ζητούμενος τόπος είναι τα άκρα των μιγαδικών της μορφής $w = z+ 2\cos y + 2 i\sin y= z+v$ όπου $|z|=1, \, |v|=2$ τυχαία.

Έχουμε $|w| = | z+v| \le | z| + |v|=3$ και $|w| = | z+v| \ge | v| -|z|=1$ .

Αντίστροφα, για οποιοδήποτε στον εν λόγω δακτύλιο (γαλάζιος στο σχήμα), γράφουμε το κύκλο με κέντρο το κι ακτίνα (κόκκινος). Αυτός τέμνει τον μεσαίο κύκλο σε ένα σημείο (αυτό πάντα γίνεται γιατί η απόσταση των κύκλων είναι . Στο σχήμα το είναι έξω από τον μεσαίο κύκλο, αλλά δεν αλλάζει τίποτα αν ήταν από μέσα). Φέρνουμε $OC\parallel BC$ . Παρατηρούμε ότι τα $z=OC,\, v=OB$ ικανοποιούν τα δεδομένα.

Φιλικά,

Μιχάλης

Εξαιρετικό. Αυτό ακριβώς πάλευα.

#8

Τώρα κατάλαβα

ότι ο Λάμπρος ήθελε ο

να κινείται στον μικρό κύκλο χωρίς περιορισμό. Ωραία η απάντηση του Μιχάλη!

Μαυρογιάννης

Μπορεί να ζητηθεί ο γ.τ ;

Μπορεί να ζητηθεί ο γ.τ ;

Re: Μπορεί να ζητηθεί ο γ.τ ;

Re: Μπορεί να ζητηθεί ο γ.τ ;

Re: Μπορεί να ζητηθεί ο γ.τ ;

Re: Μπορεί να ζητηθεί ο γ.τ ;

Re: Μπορεί να ζητηθεί ο γ.τ ;

Re: Μπορεί να ζητηθεί ο γ.τ ;

Re: Μπορεί να ζητηθεί ο γ.τ ;

Μέλη σε σύνδεση