ασκηση τη χρειαζομαι για διαγωνισμα...SOS!!!!

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

μαριαννα
Δημοσιεύσεις: 135
Εγγραφή: Παρ Ιαν 01, 2010 6:33 pm

ασκηση τη χρειαζομαι για διαγωνισμα...SOS!!!!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από μαριαννα » Παρ Ιαν 01, 2010 7:05 pm

Έστω f:R->R με f^3(x)+f(x)+1=x^2 \,\, για καθε x που ανηκει στο R. Δειξτε ότι:
α) f(1)=0,
β) δειξτε οτι η f δεν αντιστρεφεται,
γ) |f(x)|\le |x^2-1| για καθε χ που ανηκει στο R,
δ) f συνεχης στο 1,
ε) f '(1)=2.


Edit: διόρθωσα το κώδικα LATEX και άλλα.
Παρακαλώ marianna να γράφεις σε LATEX, όπως ορίζουν οι κανονισμοί του matematica
M.Λ.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11536
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ασκηση τη χρειαζομαι για διαγωνισμα...SOS!!!!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 01, 2010 7:28 pm

Αφού πρόκειται για διαγώνισμα, ένας λόγος παραπάνω να σε παροτρύνουμε να εργαστείς μόνη σου.

Όταν και άμα έρθεις σε αδιέξοδο, θα σου δώσουμε ιδέες πώς να προχωρήσεις. Δείξε μας όμως την εργασία σου μέχρι εδώ. Για την ώρα ας δώσω μερικές ιδέες:

Στο 1) το πρώτο βήμα είνα να θέσεις x = 1 και να λύσεις την εξίσωση ως προς f(x).

Στο 2) βρες δύο διαφορετικές τμές του x, ας πούμε α και β, με f(α) = f(β),

και λοιπά.


liolios19
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 27, 2008 8:59 am

Re: ασκηση τη χρειαζομαι για διαγωνισμα...SOS!!!!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από liolios19 » Παρ Ιαν 01, 2010 7:33 pm

Είναι για x=1 f^3(1)+f(1)+1=1\Rightarrow f(1)(f^2(1)+1)=0\Rightarrow  f(1)=0. ΄Ομοια f(-1)=0, άρα δεν αντιστρέφεται.
Επίσης f(x)(f^2(x)+1)=x^2-1\Rightarrow   |f(x)||f^2(x)+1|=|x^2-1|\Rightarrow |f(x)|\leq|x^2-1|    
 afoy (f^2(x)+1 \geq 1).
Άρα |1-x^2|\leq f(x)|\leq |x^2-1| \cdots (kritirio parebolis) \Rightarrow  \lim_{x\to 1}f(x)=0 =f(1).
Διαίρεσε μετά με χ-1 και ξανά κριτήριο παρεμβολής και θα πάρεις την παράγωγο.


μαριαννα
Δημοσιεύσεις: 135
Εγγραφή: Παρ Ιαν 01, 2010 6:33 pm

Re: ασκηση τη χρειαζομαι για διαγωνισμα...SOS!!!!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από μαριαννα » Παρ Ιαν 01, 2010 7:49 pm

καποιο λαθος κανω και δεν μπορω να βρω την παραγωγο......


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11536
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ασκηση τη χρειαζομαι για διαγωνισμα...SOS!!!!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 01, 2010 7:59 pm

μαριαννα έγραψε:καποιο λαθος κανω και δεν μπορω να βρω την παραγωγο......
Κάνε χρήση αυτού που γράφει ο liolios19, παραπάνω. Συγκεκριμένα (*),

Άρα -|1-x^2|\leq |f(x) - f(1)|\leq |x^2-1|

Διαίρεσε τώρα με το x - 1, και λοιπά.



(*) διόρθωσα ένα μικρό τυπογραφικό σφάλμα του liolios19 (λείπει ένα "-")


Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ασκηση τη χρειαζομαι για διαγωνισμα...SOS!!!!

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Παρ Ιαν 01, 2010 8:02 pm

Η αρχική σχέση για x \neq 1, γράφεται:

\displaystyle \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{x+1}{f^2(x)+1} και πάρε όριο στο 1 και στα δύο μέλη,

χρησιμοποιώντας τη συνέχεια στο 1.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
liolios19
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 27, 2008 8:59 am

Re: ασκηση τη χρειαζομαι για διαγωνισμα...SOS!!!!

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από liolios19 » Παρ Ιαν 01, 2010 8:07 pm

Σωστό, ευχαριστώ


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης