Το όριο της λύσης

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Το όριο της λύσης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Παρ Σεπ 22, 2017 10:14 am

Δίνεται η εξίσωση \displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0 με \displaystyle a,b,c\in R και \displaystyle b\ne 0 , η οποία έχει λύση στο \displaystyle R .
Έστω \displaystyle r(a) η κατ΄απόλυτη τιμή μικρότερη λύση της εξίσωσης . Να υπολογίσετε το \displaystyle \underset{a\to 0}{\mathop{\lim }}\,r(a)


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 353
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Το όριο της λύσης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Παρ Σεπ 22, 2017 9:23 pm

exdx έγραψε:
Παρ Σεπ 22, 2017 10:14 am
Δίνεται η εξίσωση \displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0 με \displaystyle a,b,c\in R και \displaystyle b\ne 0 , η οποία έχει λύση στο \displaystyle R .
Έστω \displaystyle r(a) η κατ΄απόλυτη τιμή μικρότερη λύση της εξίσωσης . Να υπολογίσετε το \displaystyle \underset{a\to 0}{\mathop{\lim }}\,r(a)
Καλησπέρα Γιώργη. Μια προσπάθεια...
Κατ' αρχάς πρέπει \Delta \geq 0\Leftrightarrow b^2-4ac\geq 0 .
α) Για b<0 η μικρότερη κατά απόλυτη τιμή ρίζα είναι η r(a)=\dfrac{b+\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}.
Στην περίπτωση αυτή έχουμε: \displaystyle{\lim_{a\rightarrow 0}}\dfrac{b+  \sqrt{b^2 -4ac} }{2a} = \lim_{a\rightarrow 0}}\dfrac{2c}{b - \sqrt{b^2 -4ac}} = \dfrac {2c}{ b -|b|} = -\dfrac {c}{b} , αφού b<0 .

β) Για b>0 η μικρότερη κατά απόλυτη τιμή ρίζα είναι η r(a)=\dfrac{-b+\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}.
Στην περίπτωση αυτή έχουμε: \displaystyle{\lim_{a\rightarrow 0}}\dfrac{-b+\sqrt{b^2 -4ac}}{2a} = \lim_{a\rightarrow 0}}\dfrac{-2c}{\sqrt{b^2 -4ac}+b} = \dfrac {-2c}{|b|+b} = - \dfrac {c}{b} , αφού b>0 .

Διόρθωσα το α) μετά από την σωστή παρέμβαση του Γιώργη.
Επίσης όπως πολύ σωστά μου επεσήμανε έπρεπε να διακρίνω και τρίτη περίπτωση a=0 .
Τότε η εξίσωση έχει μοναδική λύση, την x=-\dfrac{c}{b}.
Φυσικά το όριο είναι πάλι το ίδιο.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
τελευταία επεξεργασία από Σταμ. Γλάρος σε Δευ Σεπ 25, 2017 8:16 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12653
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Το όριο της λύσης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Σεπ 22, 2017 11:27 pm

exdx έγραψε:
Παρ Σεπ 22, 2017 10:14 am
Δίνεται η εξίσωση \displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0 με \displaystyle a,b,c\in R και \displaystyle b\ne 0 , η οποία έχει λύση στο \displaystyle R .
Έστω \displaystyle r(a) η κατ΄απόλυτη τιμή μικρότερη λύση της εξίσωσης . Να υπολογίσετε το \displaystyle \underset{a\to 0}{\mathop{\lim }}\,r(a)
Αλλιώς.

Αν c=0 τότε η μικρή ρίζα είναι η 0 και δεν έχουμε τίποτα να αποδείξουμε, οπότε ας υποθέσουμε c\ne 0.

Αφού \displaystyle { |r_1|+|r_2|\ge |r_1+r_2|=\frac {|b|}{|a|} \to + \infty, έπεται ότι η πιο μεγάλη κατ' απόλυτη τιμή ρίζα (έστω η r_2 ) ικανοποιεί |r_2| \to \infty. Άρα

\displaystyle { \frac {1}{r_1}  =\left ( \frac {1}{r_1}  + \frac {1}{r_2} \right ) - \frac {1}{r_2} = \frac {-b}{c} - \frac {1}{r_2} \to -\frac {b}{c}+ 0.

Έπεται ότι \displaystyle { r_1    \to -\frac {c}{b}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης