Από διαγώνισμα σχολείου

Σακης · #1

Η παρακάτω άσκηση δόθηκε σε διαγώνισμα ενός σχολείου και θα ήθελα να ακούσω γνώμες πριν δώσω την επίσημη λύση.

Να βρεθεί η παράγωγος της g(x)=e^x(x-1)

.

Έστω

ορισμένη και συνεχής στο

ώστε

,

και για κάθε

διάφορο του

ισχύει:

$\displaystyle{f{''}(x) -\frac{f{'}(x)}{x}=xe^x}$

Να βρεθεί η

.

#2

Αποσύρω τη λύση μου, ζητώ συγνώμη γι'αυτό και ευχαριστώ τον Δημήτρη Ιωάννου για την υπόδειξη.
Αν μπορέσω θα την ξανακοιτάξω από μεσημέρι τώρα πια...
Καλημέρα.

#3

Καλησπέρα.
Μάλλον χτες ήμουν αλλού και οι πράξεις μου ήταν για τα πανηγύρια...
Πρώτο ερώτημα: $\displaystyle{g'(x) = x{e^x},\forall x \in \mathbb{R}}$
Δεύτερο ερώτημα: Η δοθείσα εύκολα δίνει, για x>0

πως $\displaystyle{\left( {\frac{{f'(x)}}{x}} \right)' = {e^x},\forall x > 0 \Rightarrow f'(x) = x{e^x} + {c_1}x,\forall x > 0}$ .
Από τη συνθήκη έχω $\displaystyle{f'(1) = 0 \Rightarrow 0 = e + {c_1} \Rightarrow {c_1} = - e}$ .
Επομένως $\displaystyle{f'(x) = x{e^x} - ex,x > 0}$ .
Με ολοκλήρωση προκύπτει:
$\displaystyle{f(x) = x{e^x} - {e^x} - e\frac{{{x^2}}}{2} + {c_2},x > 0}$
Απαιτώντας συνέχεια στο μηδέν έχω: $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = f(0) \Rightarrow = - 1 + {c_2} = 0 \Rightarrow {c_2} = 1}$ .
Επομένως μπορώ να πως πως: $\displaystyle{f(x) = x{e^x} - {e^x} - e\frac{{{x^2}}}{2} + 1,x \ge 0}$
Τώρα απλά δουλεύοντας για x<0

καταλήγω πάλι σε $\displaystyle{f'(x) = x{e^x} + c{'_1}x}$ και $\displaystyle{f(x) = x{e^x} - {e^x} + c{'_1}\frac{{{x^2}}}{2} + c{'_2}}$
Απαιτώντας πάλι συνέχεια στο μηδέν έχω: $\displaystyle{c{'_2} = 1}$ επομένως $\displaystyle{f(x) = x{e^x} - {e^x} + c{'_1}\frac{{{x^2}}}{2} + 1,x < 0}$ .
Δηλαδή η συνάρτηση βγαίνει τελικά:
$\displaystyle{f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x{e^x} - {e^x} + c{'_1}\frac{{{x^2}}}{2} + 1,x < 0}\\ {x{e^x} - {e^x} - e\frac{{{x^2}}}{2} + 1,x \ge 0} \end{array}} \right.}$
όπου $c'_{1} \in\mathbb{R}$ συνάρτηση που επαληθεύει τις συνθήκες καθώς και τη σχέση.
Αυτή είναι η ανασκευασμένη παρουσίαση της άσκησης. Κάτι συνεχίζει να μη μου αρέσει γιατί στην ουσία πρόκειται για οικογένεια συναρτήσεων. Εκτός αν μου διαφεύγει κάτι.
Ευχαριστώ ξανά το Δημήτρη Ιωάννου για την υπόδειξη του λάθους μου.

unknown_x · #4

chris_gatos έγραψε:Καλησπέρα.
Μάλλον χτες ήμουν αλλού και οι πράξεις μου ήταν για τα πανηγύρια...
Πρώτο ερώτημα: $\displaystyle{g'(x) = x{e^x},\forall x \in \mathbb{R}}$
Δεύτερο ερώτημα: Η δοθείσα εύκολα δίνει, για πως $\displaystyle{\left( {\frac{{f'(x)}}{x}} \right)' = {e^x},\forall x > 0 \Rightarrow f'(x) = x{e^x} + {c_1}x,\forall x > 0}$ .
Από τη συνθήκη έχω $\displaystyle{f'(1) = 0 \Rightarrow 0 = e + {c_1} \Rightarrow {c_1} = - e}$ .
Επομένως $\displaystyle{f'(x) = x{e^x} - ex,x > 0}$ .
Με ολοκλήρωση προκύπτει:
$\displaystyle{f(x) = x{e^x} - {e^x} - e\frac{{{x^2}}}{2} + {c_2},x > 0}$
Απαιτώντας συνέχεια στο μηδέν έχω: $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = f(0) \Rightarrow = - 1 + {c_2} = 0 \Rightarrow {c_2} = 1}$ .
Επομένως μπορώ να πως πως: $\displaystyle{f(x) = x{e^x} - {e^x} - e\frac{{{x^2}}}{2} + 1,x \ge 0}$
Τώρα απλά δουλεύοντας για καταλήγω πάλι σε $\displaystyle{f'(x) = x{e^x} + c{'_1}x}$ και $\displaystyle{f(x) = x{e^x} - {e^x} + c{'_1}\frac{{{x^2}}}{2} + c{'_2}}$
Απαιτώντας πάλι συνέχεια στο μηδέν έχω: $\displaystyle{c{'_2} = 1}$ επομένως $\displaystyle{f(x) = x{e^x} - {e^x} + c{'_1}\frac{{{x^2}}}{2} + 1,x < 0}$ .
Δηλαδή η συνάρτηση βγαίνει τελικά:
$\displaystyle{f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x{e^x} - {e^x} + c{'_1}\frac{{{x^2}}}{2} + 1,x < 0}\\ {x{e^x} - {e^x} - e\frac{{{x^2}}}{2} + 1,x \ge 0} \end{array}} \right.}$
όπου $c'_{1} \in\mathbb{R}$ συνάρτηση που επαληθεύει τις συνθήκες καθώς και τη σχέση.
Αυτή είναι η ανασκευασμένη παρουσίαση της άσκησης. Κάτι συνεχίζει να μη μου αρέσει γιατί στην ουσία πρόκειται για οικογένεια συναρτήσεων. Εκτός αν μου διαφεύγει κάτι.
Ευχαριστώ ξανά το Δημήτρη Ιωάννου για την υπόδειξη του λάθους μου.

για ποιο λόγο στο 2ο ερώτημα διαχωρίζεις περιπτώσεις για x>0

και

?

εχω την εντύπωση ότι εκεί που κάνεις την πρώτη ολοκήρωση το μόνο που χρειάζεσαι είναι $x\neq 0$ το οποίο ήδη το έχεις απτην εκφώνηση.

οπότε η λύση είναι ο δεύτερος κλάδος αυτής που έχεις καταλήξει για όλα τα

.

φιλικα

#5

Καλημέρα.
Διαχωρίζω περιπτώσεις γιατί το θεώρημα που χρησιμοποιώ ισχύει (απ'ότι ξέρω) σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων.
Έχεις κάποια αντίρρηση γι'αυτό;
Η οικογένεια συναρτήσεων που δίνω επαληθεύει ή δεν επαληθεύει αυτά που θέλει η εκφώνηση;

υ.γ: προσθήκη με μπλε χρώμα.

unknown_x · #6

chris_gatos έγραψε:Καλημέρα.
Διαχωρίζω περιπτώσεις γιατί το θεώρημα που χρησιμοποιώ ισχύει (απ'ότι ξέρω) σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων.
Έχεις κάποια αντίρρηση γι'αυτό;
Η οικογένεια συναρτήσεων που δίνω επαληθεύει ή δεν επαληθεύει αυτά που θέλει η εκφώνηση;

υ.γ: προσθήκη με μπλε χρώμα.

εχεις απολυτο δικιο, το εν λογω θεωρημα ισχυει για εσωτερικο ενος διαστηματος και οχι ενωση διαστηματων.

και βεβαια η οικογενεια που καταληγεις επαληθευει την εκφωνηση, απλα μου εκανε εντυπωση που εβγαινε οικογενεια.

ευχαριστω για τον χρονο σου

#7

unknown_x έγραψε:
εχεις απολυτο δικιο, το εν λογω θεωρημα ισχυει για εσωτερικο ενος διαστηματος και οχι ενωση διαστηματων.

και βεβαια η οικογενεια που καταληγεις επαληθευει την εκφωνηση, απλα μου εκανε εντυπωση που εβγαινε οικογενεια.

ευχαριστω για τον χρονο σου

Έγινε, κανένα πρόβλημα. Απλά μιλάω εν μέσω διαλειμμάτων και αυτό είναι...αγχωτικό.
Καλημέρα.

Σακης · #8

Δίνω την επίσημη λύση χωρίς σχόλιο...

$\displaystyle{f''(x)-\frac{f'(x)}{x}=xe^x \Rightarrow \frac{xf''(x)-f'(x)}{x^2}=e^x \Rightarrow$

$\displaystyle{\Rightarrow (\frac{f'(x)}{x})'=(e^x)' \Rightarrow \frac{f'(x)}{x}=e^x+c}$

Για x=1

προκύπτει

. Άρα $\displaystyle{\frac{f'(x)}{x}=e^x-e \Rightarrow f'(x)=xe^x-ex \Rightarrow f'(x)=[e^x(x-1)-e\frac{x^2}{2}]'} \Rightarrow$
$\displaystyle{f(x)=e^x(x-1)-e\frac{x^2}{2}+k}$ και θέτοντας x=0

βγαίνει

.

Άρα $\displaystyle{f(x)=e^x(x-1)-e\frac{x^2}{2}+1}$ και δεν τρέχει τίποτα...

unknown_x · #9

chris_gatos έγραψε:Καλησπέρα.
Μάλλον χτες ήμουν αλλού και οι πράξεις μου ήταν για τα πανηγύρια...
Πρώτο ερώτημα: $\displaystyle{g'(x) = x{e^x},\forall x \in \mathbb{R}}$
Δεύτερο ερώτημα: Η δοθείσα εύκολα δίνει, για πως $\displaystyle{\left( {\frac{{f'(x)}}{x}} \right)' = {e^x},\forall x > 0 \Rightarrow f'(x) = x{e^x} + {c_1}x,\forall x > 0}$ .
Από τη συνθήκη έχω $\displaystyle{f'(1) = 0 \Rightarrow 0 = e + {c_1} \Rightarrow {c_1} = - e}$ .
Επομένως $\displaystyle{f'(x) = x{e^x} - ex,x > 0}$ .
Με ολοκλήρωση προκύπτει:
$\displaystyle{f(x) = x{e^x} - {e^x} - e\frac{{{x^2}}}{2} + {c_2},x > 0}$
Απαιτώντας συνέχεια στο μηδέν έχω: $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = f(0) \Rightarrow = - 1 + {c_2} = 0 \Rightarrow {c_2} = 1}$ .
Επομένως μπορώ να πως πως: $\displaystyle{f(x) = x{e^x} - {e^x} - e\frac{{{x^2}}}{2} + 1,x \ge 0}$
Τώρα απλά δουλεύοντας για καταλήγω πάλι σε $\displaystyle{f'(x) = x{e^x} + c{'_1}x}$ και $\displaystyle{f(x) = x{e^x} - {e^x} + c{'_1}\frac{{{x^2}}}{2} + c{'_2}}$
Απαιτώντας πάλι συνέχεια στο μηδέν έχω: $\displaystyle{c{'_2} = 1}$ επομένως $\displaystyle{f(x) = x{e^x} - {e^x} + c{'_1}\frac{{{x^2}}}{2} + 1,x < 0}$ .
Δηλαδή η συνάρτηση βγαίνει τελικά:
$\displaystyle{f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x{e^x} - {e^x} + c{'_1}\frac{{{x^2}}}{2} + 1,x < 0}\\ {x{e^x} - {e^x} - e\frac{{{x^2}}}{2} + 1,x \ge 0} \end{array}} \right.}$
όπου $c'_{1} \in\mathbb{R}$ συνάρτηση που επαληθεύει τις συνθήκες καθώς και τη σχέση.
Αυτή είναι η ανασκευασμένη παρουσίαση της άσκησης. Κάτι συνεχίζει να μη μου αρέσει γιατί στην ουσία πρόκειται για οικογένεια συναρτήσεων. Εκτός αν μου διαφεύγει κάτι.
Ευχαριστώ ξανά το Δημήτρη Ιωάννου για την υπόδειξη του λάθους μου.

μια ερωτηση αν επιτρέπεται. Θα μπορούσε άραγε απτην εκφώνηση να εννοηθεί πως η συνάρτηση που ψάχνουμε πρεπει να είναι τέτοια ώστε να έχει συνεχείς πρωτες και δευτερες παραγώγους ? μαλλον όχι ετσι ?

Γιατι αν η συνάρτηση που ψαχνουμε ειχε συνεχη 2η παραγωγο στο μηδεν εύκολα προκύπτει ότι $c{'_1}=-e$ που είναι ισοδύναμο της "επισημης λύσης" του φιλου σακη.

Από διαγώνισμα σχολείου

Από διαγώνισμα σχολείου

Re: Από διαγώνισμα σχολείου

Re: Από διαγώνισμα σχολείου

Re: Από διαγώνισμα σχολείου

Re: Από διαγώνισμα σχολείου

Re: Από διαγώνισμα σχολείου

Re: Από διαγώνισμα σχολείου

Re: Από διαγώνισμα σχολείου

Re: Από διαγώνισμα σχολείου

Μέλη σε σύνδεση