Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

#161

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 18, 2025 1:36 am
.
Άσκηση 47. Να αποδειχθεί ότι αν ρητός αριθμός και $n\ge 3$ φυσικός αριθμός, τότε ο $\sqrt [n] {q^n+1}$ είναι άρρητος.

Αν ο $\sqrt [n] {q^n+1}$ ήταν ρητός για κάποιον ρητό q>0

, θα υπήρχαν φυσικοί a,b,c,d

με $\sqrt [n] {\left (\dfrac {a}{b} \right )^n+1} = \left \dfrac {c}{d}$ . Ισοδύναμα $\left (\dfrac {a}{b} \right )^n+ 1= \left (\dfrac {c}{d} \right )^n$ , και άρα

$\boxed {(ad)^n+ (bd)^n= (bc)^n}$ . Αλλά αυτό αντιβαίνει στο Τελευταίο Θεώρημα του Fermat.

Μα θα πει κανείς, επιτρέπεται αυτή η λύση σε αυτόν τον φάκελο; Η απάντηση είναι βεβαίως, αφού έγραψα

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 18, 2025 1:36 am
Σχόλιο. Την άσκηση την αναρτώ με μία δόση χιούμορ: Επιτρέπεται η χρήση οποιουδήποτε θεωρήματος της βιβλιογραφίας, όσο δύσκολο και αν είναι αυτό!

#162

.
Άσκηση 48. Να βρεθεί ο μικρότερος φυσικός αριθμός $N\ge 1$ τέτοιος ώστε ο $\sqrt {2\sqrt {3 \sqrt {N}}}$ είναι φυσικός αριθμός.

Fotis34 · #163

Λύση, στην Άσκηση 48:

Έστω
$\displaystyle \sqrt{2 \sqrt{3 \sqrt{N}}}} = k \in \mathbb{N}.$

Τότε:
$\displaystyle 2 \sqrt{3 \sqrt{N}} = k^2 \implies \sqrt{3 \sqrt{N}} = \frac{k^2}{2}.$

Αν πάρουμε τετράγωνο και στα δύο μέρη:
$\displaystyle 3 \sqrt{N} = \left(\frac{k^2}{2}\right)^2 = \frac{k^4}{4} \implies \sqrt{N} = \frac{k^4}{12}.$

Πάλι, παίρνοντας τετράγωνο:
$\displaystyle N = \left(\frac{k^4}{12}\right)^2 = \frac{k^8}{144}.$

Για να είναι $N \in \mathbb{N}$ , πρέπει k^8

να διαιρείται από 144. Η παραγοντοποίηση $144 = 2^4 \cdot 3^2$ δείχνει ότι το μικρότερο

που ικανοποιεί την προϋπόθεση είναι k=6

.

Άρα:
$\displaystyle N = \frac{6^8}{144} = 2^4 \cdot 3^6 = 11664.$

$\displaystyle \boxed{N = 11664}.$

#164

.
Άσκηση 49. Οι συντελεστές ενός πολυωνύμου είναι μονοψήφιοι φυσικοί αριθμοί (δηλαδή κάποιοι από τους ). Αν $P(\sqrt {10}) = 712 + 341 \sqrt {10}$ , να βρεθεί το πολυώνυμο.

Nikitas K. · #165

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 27, 2026 10:46 pm
.
Άσκηση 49. Οι συντελεστές ενός πολυωνύμου είναι μονοψήφιοι φυσικοί αριθμοί (δηλαδή κάποιοι από τους ). Αν $P(\sqrt {10}) = 712 + 341 \sqrt {10}$ , να βρεθεί το πολυώνυμο.

Παρατηρούμε ότι το άθροισμα των όρων που έχουν άρτιο δείκτη πρέπει να ισούται με 712

και ότι το άθροισμα των όρων που έχουν περιττό δείκτη πρέπει να ισούται με $341\sqrt{10}$ .

Αν το πολυώνυμο είναι τουλάχιστον έκτου βαθμού τότε ο μεγιστοβάθμιος όρος έχει τιμή τουλάχιστον όσο το 1000

άτοπο.

Αν το πολυώνυμο είναι το πολύ τετάρτου βαθμού τότε το άθροισμα των όρων που έχουν περιττό δείκτη είναι το πολύ $9\sqrt{10} + 90\sqrt{10}$ άτοπο.

Το πολυώνυμο πρέπει να είναι ακριβώς πέμπτου βαθμού οπότε εύκολα προκύπτει ο τύπος του P(x) = 3x^5 + 7x^4 + 4x^3 + x^2 + x + 2

#166

Nikitas K. έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 28, 2026 4:46 am
Το πολυώνυμο πρέπει να είναι ακριβώς πέμπτου βαθμού οπότε εύκολα προκύπτει ο τύπος του

Νικήτα, στο παραπάνω λείπει όλη η ουσία της άσκησης. Δίνει μόνο την απάντηση, όπως θα μπορούσε να την βρει ένα λογισμικό ή η τεχνιτή νοημοσύνη, και απλά επιβεβαιώνουμε την αριθμητική απάντηση. Συν τοις άλλοις, δεν φαίνεται πουθενά αν υπάρχει άλλο πολυώνυμο με την ίδια ιδιότητα, και ποιο.

Θεωρώ ότι η άσκηση είναι ακόμα ανοικτή.

Nikitas K. · #167

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 28, 2026 7:07 am

Nikitas K. έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 28, 2026 4:46 am
Το πολυώνυμο πρέπει να είναι ακριβώς πέμπτου βαθμού οπότε εύκολα προκύπτει ο τύπος του
Νικήτα, στο παραπάνω λείπει όλη η ουσία της άσκησης. Δίνει μόνο την απάντηση, όπως θα μπορούσε να την βρει ένα λογισμικό ή η τεχνιτή νοημοσύνη, και απλά μπορούμε να επιβεβαιώσουμε την αριθμητική απάντηση. Συν τοις άλλοις, δεν φαίνεται πουθενά αν υπάρχει άλλο πολυώνυμο με την ίδια ιδιότητα, και ποιο.

Θεωρώ ότι η άσκηση είναι ακόμα ανοικτή.

Από την στιγμή που έχει προσδιοριστεί ο βαθμός του πολυωνύμου στην χείριστη είναι όντως θέμα δοκιμών $9\cdot 10^5$ αλλά δεν έδρασα έτσι.

Έστω P(x) = a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1x + a_0

Από την παρατήρηση:

Nikitas K. έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 28, 2026 4:46 am
Παρατηρούμε ότι το άθροισμα των όρων που έχουν άρτιο δείκτη πρέπει να ισούται με και ότι το άθροισμα των όρων που έχουν περιττό δείκτη πρέπει να ισούται με $341\sqrt{10}$ .

$a_0 \sqrt{10}^0 + a_2\sqrt{10}^2 + a_4\sqrt{10}^4 = 712\Leftrightarrow a_4 \cdot 10^2 + a_2 \cdot 10^1 + a_0 \cdot 10^0 = 712$ και

$a_1\sqrt{10}^1 + a_3 \sqrt{10}^3+ a_5\sqrt{10}^5 = 341\sqrt{10}\Leftrightarrow a_5 \cdot 10^2 + a_3 \cdot 10^1 + a_1 \cdot 10^0 = 341$

Επειδή οι a_1,a_2, a_3,a_4,a_5

είναι μονοψήφιοι και η αναπαράσταση του 712

στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης είναι $7 \cdot 10^2 + 1\cdot 10^1 + 2\cdot 10^0$ όμοια η αναπαράσταση του 341

είναι $3\cdot 10^2 + 4\cdot 10^1 + 1\cdot 10^0$ προκύπτει ότι (a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)=(2,1,1,4,7,3)

Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση