Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για IMO, 2017

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 447
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για IMO, 2017

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Σάβ Απρ 29, 2017 2:10 pm

Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις \displaystyle{(x, y, z)} της εξίσωσης: \displaystyle{(x+y+z)^3=24xyz}

Πρόβλημα 2

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο \displaystyle{\vartriangle{\rm AB\Gamma}} με \displaystyle{{\rm AB}<{\rm A\Gamma}} και \displaystyle{{\rm \Delta, E}} να είναι τα ίχνη των καθέτων από τα σημεία \displaystyle{{\rm B, \Gamma}} στις απέναντι πλευρές του, αντίστοιχα. Έστω \displaystyle{{\rm \Sigma}} και \displaystyle{{\rm T}} τα συμμετρικά του σημείο \displaystyle{{\rm E}} ως προς τις πλευρές \displaystyle{{\rm A\Gamma}} και \displaystyle{{\rm B\Gamma}}, αντίστοιχα. Υποθέτουμε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου \displaystyle{\vartriangle{\rm \Gamma\Sigma T}} έχει κέντρο το \displaystyle{{\rm O}} και τέμνει την ευθεία \displaystyle{{\rm A\Gamma}} στο σημείο \displaystyle{{\rm Z}\neq{\rm \Gamma}} και έστω \displaystyle{{\rm N}} το περίκεντρο του τριγώνου \displaystyle{\vartriangle{\rm AB\Gamma}}. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες \displaystyle{{\rm ZO}} και \displaystyle{{\rm AN}} είναι παράλληλες.

Πρόβλημα 3

Υποθέτουμε ότι \displaystyle{\nu} μαθητές \displaystyle{M_1, M_2, \ldots, M_{\nu}} συναντώνται σε μια καφετέρια. Θεωρούμε ότι ο \displaystyle{M_1} γνωρίζει \displaystyle{4} μαθητές, ο \displaystyle{M_2} γνωρίζει \displaystyle{5} μαθητές και ούτω κάθε εξής μέχρι τον \displaystyle{M_{\nu-6}}, ο οποίος γνωρίζει \displaystyle{\nu-3} μαθητές. Επιπλέον, θεωρούμε ότι κάθε ένας από τους \displaystyle{M_{\nu-5}, M_{\nu-4}, M_{\nu-3}} γνωρίζει \displaystyle{\nu-2} μαθητές και κάθε ένας από τους \displaystyle{M_{\nu-2}, M_{\nu-1}, M_{\nu}} γνωρίζει \displaystyle{\nu-1} μαθητές. Να βρείτε όλους τους ακέραιους \displaystyle{\nu\geqslant 8}, για τους οποίους αυτό είναι δυνατόν.

Παρατηρήσεις
(α) Με την λέξη «γνωρίζει» εννοούμε μια συμμετρική μη αυτοπαθή σχέση, δηλαδή αν ο \displaystyle{M_i} γνωρίζει τον \displaystyle{M_j}, τότε ο \displaystyle{M_j} γνωρίζει τον \displaystyle{M_i}.
(β) Η φράση «ο \displaystyle{M_i} γνωρίζει \displaystyle{\rho} μαθητές» σημαίνει ότι ο \displaystyle{M_i} γνωρίζει \displaystyle{\rho} μαθητές εκτός από τον εαυτό του.

Πρόβλημα 4

Έστω \displaystyle{\mathbb{R}^+} το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών. Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}}, τέτοια ώστε \displaystyle{(f(x))^2\leqslant 2x^2f\left(\dfrac{x}{2}\right)}, για κάθε \displaystyle{x>0}.

(α) Να αποδείξετε ότι αν \displaystyle{f(x)<2^{2017}} για κάθε \displaystyle{x<\dfrac{1}{2^{2017}}}, τότε:
\displaystyle{f(x)\leqslant\dfrac{x^2}{2}}, για κάθε \displaystyle{x>0}

(β) Να κατασκευάσετε μια τέτοια συνάρτηση \displaystyle{f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}} (που να μην ικανοποιεί την συνθήκη του (α)), τέτοια ώστε: \displaystyle{f(x)>\dfrac{x^2}{2}} για κάθε \displaystyle{x>0}


Σωτήρης Λοϊζιάς

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 792
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για IMO, 2017

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Σάβ Απρ 29, 2017 6:13 pm

Soteris έγραψε:
Πρόβλημα 2

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο \displaystyle{\vartriangle{\rm AB\Gamma}} με \displaystyle{{\rm AB}<{\rm A\Gamma}} και \displaystyle{{\rm \Delta, E}} να είναι τα ίχνη των καθέτων από τα σημεία \displaystyle{{\rm B, \Gamma}} στις απέναντι πλευρές του, αντίστοιχα. Έστω \displaystyle{{\rm \Sigma}} και \displaystyle{{\rm T}} τα συμμετρικά του σημείο \displaystyle{{\rm E}} ως προς τις πλευρές \displaystyle{{\rm A\Gamma}} και \displaystyle{{\rm B\Gamma}}, αντίστοιχα. Υποθέτουμε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου \displaystyle{\vartriangle{\rm \Gamma\Sigma T}} έχει κέντρο το \displaystyle{{\rm O}} και τέμνει την ευθεία \displaystyle{{\rm A\Gamma}} στο σημείο \displaystyle{{\rm Z}\neq{\rm \Gamma}} και έστω \displaystyle{{\rm N}} το περίκεντρο του τριγώνου \displaystyle{\vartriangle{\rm AB\Gamma}}. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες \displaystyle{{\rm ZO}} και \displaystyle{{\rm AN}} είναι παράλληλες.
προκριματικός κύπρου.png
προκριματικός κύπρου.png (37.83 KiB) Προβλήθηκε 566 φορές
Έστω πως οι SC και TC τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του ABC στα K και L.

Θα αποδείξουμε πως \dfrac{SK}{SC}=\dfrac{TL}{TC}.

Έστω X και Y τα συμμετρικά των K και L ως προς τις AC και BC.
Επειδή η AC είναι μεσοκάθετος στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου CSE, και το ίδιο ισχύει για την BC στο CTE, προκύπτει εύκολα ότι τα X και Y είναι πάνω στο ύψος CE, \dfrac{EX}{EC}=\dfrac{SK}{SC} και \dfrac{EY}{EC}=\dfrac{TL}{TC}. Επίσης, τα συμμετρικά τους K και L αντίστοιχα ανήκουν πάνω στον περιγεγραμμένο κύκλο του ABC. Επομένως τα X και Y ταυτίζονται με το ορθόκεντρο H του ABC, άρα ταυτίζονται μεταξύ τους. Άρα \dfrac{EX}{EC}=\dfrac{EY}{EC} και συνεπώς \dfrac{SK}{SC}=\dfrac{TL}{TC}.

Επομένως αν θέσουμε κέντρο ομοιοθεσίας το C και λόγο ομοιοθεσίας \dfrac{SK}{SC}=\dfrac{TL}{TC}, τότε οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των ABC και SCT είναι ομοιόθετοι. Άρα και τα κέντρα τους N και O είναι ομοιόθετα. Ταυτόχρονα όμως είναι και τα A, Z ομοιόθετα. Άρα και οι ευεθείς AN και ZO είναι ομοιόθετες, δηλαδή παράλληλες.

Edit: Προστέθηκε το σχήμα και μερικές βελτιώσεις.
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Κυρ Απρ 30, 2017 12:48 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6167
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για IMO, 2017

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Σάβ Απρ 29, 2017 8:35 pm

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις \displaystyle{(x, y, z)} της εξίσωσης: \displaystyle{(x+y+z)^3=24xyz}
Παρατηρούμε ότι \displaystyle{(x+y+z)^3-24xyz=(y+z-x)^3+(z+x-y)^3+(x+y-z)^3}

οπότε η εξίσωση γράφεται

\displaystyle{(y+z-x)^3+(z+x-y)^3=(z-x-y)^3}

και από το θεώρημα Fermat (που απέδειξε ο Euler για \displaystyle{n=3})

έχουμε \displaystyle{y+z-x=z-x-y, z+x-y=0} και τελικά \displaystyle{y=0, x=-z}

ή \displaystyle{z+x-y=z-x-y, y+z-x=0} δηλαδή \displaystyle{x=0, y=-z}

ή \displaystyle{z=x+y, z+x-y=x-y-z} δηλαδή \displaystyle{z=0, x=-y.}
τελευταία επεξεργασία από matha σε Σάβ Απρ 29, 2017 9:25 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Διόρθωση αβλεψίας.


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης