Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για IMO, 2017

Soteris · #1

Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις $\displaystyle{(x, y, z)}$ της εξίσωσης: $\displaystyle{(x+y+z)^3=24xyz}$

Πρόβλημα 2

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{\rm AB\Gamma}}$ με $\displaystyle{{\rm AB}<{\rm A\Gamma}}$ και $\displaystyle{{\rm \Delta, E}}$ να είναι τα ίχνη των καθέτων από τα σημεία $\displaystyle{{\rm B, \Gamma}}$ στις απέναντι πλευρές του, αντίστοιχα. Έστω $\displaystyle{{\rm \Sigma}}$ και $\displaystyle{{\rm T}}$ τα συμμετρικά του σημείο $\displaystyle{{\rm E}}$ ως προς τις πλευρές $\displaystyle{{\rm A\Gamma}}$ και $\displaystyle{{\rm B\Gamma}}$ , αντίστοιχα. Υποθέτουμε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle{\rm \Gamma\Sigma T}}$ έχει κέντρο το $\displaystyle{{\rm O}}$ και τέμνει την ευθεία $\displaystyle{{\rm A\Gamma}}$ στο σημείο $\displaystyle{{\rm Z}\neq{\rm \Gamma}}$ και έστω $\displaystyle{{\rm N}}$ το περίκεντρο του τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle{\rm AB\Gamma}}$ . Να αποδείξετε ότι οι ευθείες $\displaystyle{{\rm ZO}}$ και $\displaystyle{{\rm AN}}$ είναι παράλληλες.

Πρόβλημα 3

Υποθέτουμε ότι $\displaystyle{\nu}$ μαθητές $\displaystyle{M_1, M_2, \ldots, M_{\nu}}$ συναντώνται σε μια καφετέρια. Θεωρούμε ότι ο $\displaystyle{M_1}$ γνωρίζει $\displaystyle{4}$ μαθητές, ο $\displaystyle{M_2}$ γνωρίζει $\displaystyle{5}$ μαθητές και ούτω κάθε εξής μέχρι τον $\displaystyle{M_{\nu-6}}$ , ο οποίος γνωρίζει $\displaystyle{\nu-3}$ μαθητές. Επιπλέον, θεωρούμε ότι κάθε ένας από τους $\displaystyle{M_{\nu-5}, M_{\nu-4}, M_{\nu-3}}$ γνωρίζει $\displaystyle{\nu-2}$ μαθητές και κάθε ένας από τους $\displaystyle{M_{\nu-2}, M_{\nu-1}, M_{\nu}}$ γνωρίζει $\displaystyle{\nu-1}$ μαθητές. Να βρείτε όλους τους ακέραιους $\displaystyle{\nu\geqslant 8}$ , για τους οποίους αυτό είναι δυνατόν.

Παρατηρήσεις
(α) Με την λέξη «γνωρίζει» εννοούμε μια συμμετρική μη αυτοπαθή σχέση, δηλαδή αν ο $\displaystyle{M_i}$ γνωρίζει τον $\displaystyle{M_j}$ , τότε ο $\displaystyle{M_j}$ γνωρίζει τον $\displaystyle{M_i}$ .
(β) Η φράση «ο $\displaystyle{M_i}$ γνωρίζει $\displaystyle{\rho}$ μαθητές» σημαίνει ότι ο $\displaystyle{M_i}$ γνωρίζει $\displaystyle{\rho}$ μαθητές εκτός από τον εαυτό του.

Πρόβλημα 4

Έστω $\displaystyle{\mathbb{R}^+}$ το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών. Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}}$ , τέτοια ώστε $\displaystyle{(f(x))^2\leqslant 2x^2f\left(\dfrac{x}{2}\right)}$ , για κάθε $\displaystyle{x>0}$ .

(α) Να αποδείξετε ότι αν $\displaystyle{f(x)<2^{2017}}$ για κάθε $\displaystyle{x<\dfrac{1}{2^{2017}}}$ , τότε:
$\displaystyle{f(x)\leqslant\dfrac{x^2}{2}}$ , για κάθε $\displaystyle{x>0}$

(β) Να κατασκευάσετε μια τέτοια συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}}$ (που να μην ικανοποιεί την συνθήκη του (α)), τέτοια ώστε: $\displaystyle{f(x)>\dfrac{x^2}{2}}$ για κάθε $\displaystyle{x>0}$

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Soteris έγραψε:
Πρόβλημα 2

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{\rm AB\Gamma}}$ με $\displaystyle{{\rm AB}<{\rm A\Gamma}}$ και $\displaystyle{{\rm \Delta, E}}$ να είναι τα ίχνη των καθέτων από τα σημεία $\displaystyle{{\rm B, \Gamma}}$ στις απέναντι πλευρές του, αντίστοιχα. Έστω $\displaystyle{{\rm \Sigma}}$ και $\displaystyle{{\rm T}}$ τα συμμετρικά του σημείο $\displaystyle{{\rm E}}$ ως προς τις πλευρές $\displaystyle{{\rm A\Gamma}}$ και $\displaystyle{{\rm B\Gamma}}$ , αντίστοιχα. Υποθέτουμε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle{\rm \Gamma\Sigma T}}$ έχει κέντρο το $\displaystyle{{\rm O}}$ και τέμνει την ευθεία $\displaystyle{{\rm A\Gamma}}$ στο σημείο $\displaystyle{{\rm Z}\neq{\rm \Gamma}}$ και έστω $\displaystyle{{\rm N}}$ το περίκεντρο του τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle{\rm AB\Gamma}}$ . Να αποδείξετε ότι οι ευθείες $\displaystyle{{\rm ZO}}$ και $\displaystyle{{\rm AN}}$ είναι παράλληλες.

: προκριματικός κύπρου.png (37.83 KiB) Προβλήθηκε 1335 φορές

Έστω πως οι

και

τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του ABC

στα

και

.

Θα αποδείξουμε πως $\dfrac{SK}{SC}=\dfrac{TL}{TC}$ .

Έστω

και

τα συμμετρικά των

και

ως προς τις

και

.
Επειδή η

είναι μεσοκάθετος στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου CSE

, και το ίδιο ισχύει για την

στο

, προκύπτει εύκολα ότι τα

και

είναι πάνω στο ύψος

, $\dfrac{EX}{EC}=\dfrac{SK}{SC}$ και $\dfrac{EY}{EC}=\dfrac{TL}{TC}$ . Επίσης, τα συμμετρικά τους

και

αντίστοιχα ανήκουν πάνω στον περιγεγραμμένο κύκλο του ABC

. Επομένως τα

και

ταυτίζονται με το ορθόκεντρο

του

, άρα ταυτίζονται μεταξύ τους. Άρα $\dfrac{EX}{EC}=\dfrac{EY}{EC}$ και συνεπώς $\dfrac{SK}{SC}=\dfrac{TL}{TC}$ .

Επομένως αν θέσουμε κέντρο ομοιοθεσίας το

και λόγο ομοιοθεσίας $\dfrac{SK}{SC}=\dfrac{TL}{TC}$ , τότε οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των ABC

και

είναι ομοιόθετοι. Άρα και τα κέντρα τους

και

είναι ομοιόθετα. Ταυτόχρονα όμως είναι και τα A, Z

ομοιόθετα. Άρα και οι ευεθείς

και

είναι ομοιόθετες, δηλαδή παράλληλες.

Edit: Προστέθηκε το σχήμα και μερικές βελτιώσεις.

#3

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις $\displaystyle{(x, y, z)}$ της εξίσωσης: $\displaystyle{(x+y+z)^3=24xyz}$

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{(x+y+z)^3-24xyz=(y+z-x)^3+(z+x-y)^3+(x+y-z)^3}$

οπότε η εξίσωση γράφεται

$\displaystyle{(y+z-x)^3+(z+x-y)^3=(z-x-y)^3}$

και από το θεώρημα Fermat (που απέδειξε ο Euler για $\displaystyle{n=3}$ )

έχουμε $\displaystyle{y+z-x=z-x-y, z+x-y=0}$ και τελικά $\displaystyle{y=0, x=-z}$

ή $\displaystyle{z+x-y=z-x-y, y+z-x=0}$ δηλαδή $\displaystyle{x=0, y=-z}$

ή $\displaystyle{z=x+y, z+x-y=x-y-z}$ δηλαδή $\displaystyle{z=0, x=-y.}$

Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για IMO, 2017

Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για IMO, 2017

Re: Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για IMO, 2017

Re: Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για IMO, 2017

Μέλη σε σύνδεση