Η σημασία του dx στο ολοκλήρωμα

[exdx]

Α. Σε μια υποθετική τάξη ένας μαθητής ρωτάει κάτι συνηθισμένο : Στο , ποια είναι η σημασία του

Η απάντηση του καθηγητή θα μπορούσε να είναι μια απ΄τις παρακάτω :
i. To είναι εκεί για να μας υπενθυμίζει τη μεταβλητή ολοκλήρωσης
ii. Μην ξεχνάτε ότι το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι το όριο ενός αθροίσματος εμβαδών ορθογωνίων , των οποίων το ύψος είναι και το πλάτος είναι .
iii. Είναι κάτι σαν αυτό : http://en.wikipedia.org/wiki/Differenti ... tesimal%29
iv. Είναι ειδική περίπτωση αυτού : http://en.wikipedia.org/wiki/1-form
v. Το ολοκλήρωμα είναι μέτρηση και το είναι η μονάδα μέτρησης
vi. Το , μπαίνει εκεί σαν τελεία , για να ξέρουμε που τελειώνει το ολοκλήρωμα .
vii. Αν η συνάρτηση έχει κάποια φυσική υπόσταση , το χρησιμεύει για να εκφράζονται σωστά οι μονάδες στο αποτέλεσμα .

Αν νομίζετε ότι κάποιο απ΄τα παραπάνω είναι σωστό , το χρησιμοποιείτε ;
Αν όχι , ποια είναι η απάντηση ;

Β. Όποια κι αν είναι η απάντηση στο Α , ποια θα είναι η απάντηση στην ίδια περίπου ερώτηση (ποια είναι η σημασία του ) όταν διδάσκετε τη μέθοδο της αντικατάστασης ;
i. Επειδή , έχουμε :
ii. Σε ένα ολοκλήρωμα που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : , θέτουμε και , ενώ ταυτόχρονα αλλάζουμε τα όρια ολοκλήρωσης και έτσι γίνεται απλούστερο .

iii . Άλλο ;

[drs75]

Λεπτό ζήτημα.
Νομίζω ότι κάτι περισσότερο από τα Α i) καί Β ii), μάλλον θα μπερδέψει πάρα θα βοηθήσει.
Ισως θα μπορούσε κάποιος να τονίσει τη "χρησιμότητα" του dx στο να δείξει τη διαφορά του από το .

[Tolaso J Kos]

Από καθηγητή μου στην Αμερική όταν παρακολουθούσα κάποια μαθήματα πριν 2 χρόνια.
Παραθέτω ατόφια τα λόγια του:

"Υποθέτουμε μια συνεχή συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα . Τότε η είναι ολοκληρώσιμη στο διάστημα αυτό και το συμβολίζουμε ως .
Τα ονομάζονται κάτω και πάνω όριο ολοκλήρωσης. Το ονομάζεται διαφορικό και δηλώνει τα εξής:

α)Δηλώνει την μεταβλητή ως προς την οποία ολοκληρώνουμε.
β)Επειδή ένα ορισμένο ολοκλήρωμα μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα απείρων εμβαδών ορθογωνίων, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι στην περίπτωση αυτή το μας δηλώνει την απειροστή μεταβολή του η οποία είναι ίση με το κάτι το οποίο δεν ισχύει στην περίπτωση του ." Σε αυτό το σημείο μας είχε δώσει ένα σχήμα, το οποίο είναι μεγάλο για να το βάλω.

Πιστεύω ότι το πρώτο (α) δεν ταιριάζει και τόσο όσο το 2ο. Απλώς στα παιδιά της Γ' λέμε ότι μας δηλώνει τη μεταβλητή ολοκλήρωσης.

Όσο αναφορά για το μας τόνισε ότι είναι ακριβώς το ίδιο πράγμα καθώς τόσο το όσο και το καλούνται βουβές μεταβλητές και δεν παίζουν κανένα ρόλο.

Λεπτό ζήτημα.
Νομίζω ότι κάτι περισσότερο από τα Α i) καί Β ii), μάλλον θα μπερδέψει πάρα θα βοηθήσει.
Ισως θα μπορούσε κάποιος να τονίσει τη "χρησιμότητα" του dx στο να δείξει τη διαφορά του από το .

Για την περίπτωση αυτή μας είπε ότι , αν θεωρήσουμε μια συνεχή συνάρτηση σε ένα διάστημα τότε σύμφωνα με το 1ο θεμελιώδη θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού έχουμε ότι η συνάρτηση θα είναι μία αρχική της στο για την οποία έχουμε:

α)Το καλείται μεταβλητή παραγώγισης.
β)Το καλείται βουβή μεταβλητή και μπορεί να αντικατασταθεί από κάποια άλλη μεταβλητή της προτίμησης μας. Το σε αυτή την περίπτωση δηλώνει όλες τις απειροστές μεταβολές της μεταβλητής που υπόκεινται μέσω της διαδικασίας και όλο μαζί το ολοκλήρωμα (δηλαδή η ) εκφράζει το μεταβλητό άπειρο άθροισμα όλων των ορθογωνίων με μήκος και πλάτος .

[Νίκος Ζαφειρόπουλος]

Α. Επειδή σε μια πραγματική τάξη, όχι ένας, αλλά πολλοί έχουν υποβάλλει την ερώτηση, εγώ απαντώ (i).
B. Όταν κάνουμε π.χ. την αντικατάσταση για να εξηγήσω γιατί , δεν έχω καταλληλότερο τρόπο από το (i) και πάλι.

[Tolaso J Kos]

Κατά την προσωπική μου εμπειρία αυτό το το συνδέω με τον ορισμό του ορισμένου ολοκληρώματος που κακώς δε διδάσκεται οπότε έχουμε . Άρα το ουσιαστικά αντιστοιχεί στο δηλαδή στις μεταβολές που γίνονται. Και όλο το υπόλοιπο αντιστοιχίζεται στο συμβολισμό που εισήγαγε ο δηλαδή στο . Για το αόριστο δεν ξέρω τι ακριβώς συμβολίζει το .

[drs75]

Από καθηγητή μου στην Αμερική όταν παρακολουθούσα κάποια μαθήματα πριν 2 χρόνια.
Παραθέτω ατόφια τα λόγια του:

"Υποθέτουμε μια συνεχή συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα . Τότε η είναι ολοκληρώσιμη στο διάστημα αυτό και το συμβολίζουμε ως .
Τα ονομάζονται κάτω και πάνω όριο ολοκλήρωσης. Το ονομάζεται διαφορικό και δηλώνει τα εξής:

α)Δηλώνει την μεταβλητή ως προς την οποία ολοκληρώνουμε.
β)Επειδή ένα ορισμένο ολοκλήρωμα μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα απείρων εμβαδών ορθογωνίων, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι στην περίπτωση αυτή το μας δηλώνει την απειροστή μεταβολή του η οποία είναι ίση με το κάτι το οποίο δεν ισχύει στην περίπτωση του ." Σε αυτό το σημείο μας είχε δώσει ένα σχήμα, το οποίο είναι μεγάλο για να το βάλω.

Πιστεύω ότι το πρώτο (α) δεν ταιριάζει και τόσο όσο το 2ο. Απλώς στα παιδιά της Γ' λέμε ότι μας δηλώνει τη μεταβλητή ολοκλήρωσης.

Όσο αναφορά για το μας τόνισε ότι είναι ακριβώς το ίδιο πράγμα καθώς τόσο το όσο και το καλούνται βουβές μεταβλητές και δεν παίζουν κανένα ρόλο.

Λεπτό ζήτημα.
Νομίζω ότι κάτι περισσότερο από τα Α i) καί Β ii), μάλλον θα μπερδέψει πάρα θα βοηθήσει.
Ισως θα μπορούσε κάποιος να τονίσει τη "χρησιμότητα" του dx στο να δείξει τη διαφορά του από το .

Για την περίπτωση αυτή μας είπε ότι , αν θεωρήσουμε μια συνεχή συνάρτηση σε ένα διάστημα τότε σύμφωνα με το 1ο θεμελιώδη θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού έχουμε ότι η συνάρτηση θα είναι μία αρχική της στο για την οποία έχουμε:

α)Το καλείται μεταβλητή παραγώγισης.
β)Το καλείται βουβή μεταβλητή και μπορεί να αντικατασταθεί από κάποια άλλη μεταβλητή της προτίμησης μας. Το σε αυτή την περίπτωση δηλώνει όλες τις απειροστές μεταβολές της μεταβλητής που υπόκεινται μέσω της διαδικασίας και όλο μαζί το ολοκλήρωμα (δηλαδή η ) εκφράζει το μεταβλητό άπειρο άθροισμα όλων των ορθογωνίων με μήκος και πλάτος .

...Εκτός από το ίδιο το
Εχω δεί με τα μάτια μου πασίγνωστο καθηγητή στατιστικής στο πανεπιστήμιο της αθήνας να γράφει στο πίνακα :

[Tolaso J Kos]

β)Το καλείται βουβή μεταβλητή και μπορεί να αντικατασταθεί από κάποια άλλη μεταβλητή της προτίμησης μας.
Εκτός από το ίδιο το .
Έχω δεί με τα μάτια μου πασίγνωστο καθηγητή στατιστικής στο πανεπιστήμιο της αθήνας να γράφει στο πίνακα :

Ναι, εντάξει αυτό εννοείται. Δεν περίμενα βέβαια να δω κάτι τέτοιο.! Όπως το Όχι, εμάς ήταν καλός.. Όποτε δεν είχαμε απορίες , μας ρωτούσε ο ίδιος και δεν είχαμε και απάντηση.

[drs75]

Εντάξει,ο συγκεκριμένος συγχωρείται γιατί είναι στατιστικάριος (και συμπαθέστατος σαν άνθρωπος).
Οπως και να χει η στατιστική δεν είναι ακριβώς μαθηματικά αλλά κάτι που μοιάζει με μαθηματικά
...αλλά αυτό είναι μια άλλη κουβέντα,μη βγούμε εκτός θέματος.

[S.E.Louridas]

Μία από τις περιπτώσεις από το βιβλίο (σελ.113): Μαθήματα Διαφορικών Εξισώσεων-Πάτρα 1974, από τον Καθηγητή Β. Μπαρμπάνη.

…η ορίζουσα Wronski δίνεται υπό του τύπου:

όπου η τιμή της ορίζουσας για ..., από το κεφάλαιο: Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις ν- τάξης.

[drs75]

Μία από τις περιπτώσεις από το βιβλίο (σελ.113): Μαθήματα Διαφορικών Εξισώσεων-Πάτρα 1974, από τον Καθηγητή Β. Μπαρμπάνη.

…η ορίζουσα Wronski δίνεται υπό του τύπου:

όπου η τιμή της ορίζουσας για ..., από το κεφάλαιο: Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις ν- τάξης.

Τα κάνουν και οι αναλύστες αυτά;

[Tolaso J Kos]

Επαναφέρω τη απορία που είχα πιο πάνω! Το σε αόριστα ολοκληρώματα , τι μπορεί να εκφράζει πέρα από τη μεταβλητή ολοκλήρωσης!

Τόλης

[exdx]

Για τη Γ΄Λυκείου , όπως είναι τώρα η ύλη δεν τίθεται θέμα. Δεν λέμε αόριστο ολοκλήρωμα αλλά αρχική συνάρτηση και δεν έχουμε την ανάγκη του

Γενικά τώρα , αν εισάγουμε το αόριστο μέσω του ορισμένου , τότε το θα έχει την ίδια σημασία όπως στο ορισμένο . Περισσότερες λεπτομέρειες εδώ : ( σελ )

http://www.math.uoc.gr/dept/lnotes/calc ... trakis.pdf

[Tolaso J Kos]

Δε μιλάω για τη Γ' , μιλάω γενικά! Πολλοί όμως καθηγητές , λεν αόριστο ολοκλήρωμα!
Αν εισάγουμε το αόριστο μέσω του ορισμένου, τότε το θα έχει την ίδια σημασία. Αν όμως δεν εισάγουμε το αόριστο μέσω του ορισμένου, τότε τι γίνεται; Δηλαδή , χωρίς να ξέρουμε το ορισμένο τότε στο όπου η συνεχής τι θα εκφράζει το ; Τη μεταβλητή ολοκλήρωσης ή κάτι άλλο;

[APOSTOLAKIS]

Απο τα φοιτητικά μου χρόνια με απασχόλησε αυτό το πρόβλημα. Στο συννημένο καταγράφω το συμπέρασμα που έχω καταλήξει και που θα ήθελα τα σχόλια σας.
Ν. Ζ. ΑΠΟΣΤΟΛΑΚΗΣ

[parmenides51]

περί πάλι εδώ

[exdx]

Απο τα φοιτητικά μου χρόνια με απασχόλησε αυτό το πρόβλημα. Στο συννημένο καταγράφω το συμπέρασμα που έχω καταλήξει και που θα ήθελα τα σχόλια σας.
Ν. Ζ. ΑΠΟΣΤΟΛΑΚΗΣ

Αρκετά παραστατικό . Η περίληψή του είναι το Αii που αναφέρω στην πρώτη ανάρτηση
Αναφέρεσαι όμως μόνο στο ορισμένο , ενώ η απορία αφορά κυρίως στο αόριστο .

Εκείνο που είδα στο διαδίκτυο για το αόριστο (χωρίς να το ασπάζομαι ) είναι ότι το είναι εκεί για να δείχνει τη μεταβλητή . Ένα αρκετά πειστικό παράδειγμα είναι ότι αν γράφαμε , τότε το αποτέλεσμα θα ήταν ; . . . ή ; . . . ή . . .

[Tolaso J Kos]

Ένα αρκετά πειστικό παράδειγμα είναι ότι αν γράφαμε , τότε το αποτέλεσμα θα ήταν ; . . . ή ; . . . ή . . .

Πράγματι, και υπάρχει και πιο περίπλοκη περίπτωση όταν έχουμε το εξής: στο οποίο δε γνωρίζουμε τη μεταβλητή ολοκλήρωσης έχουμε, διότι αν ολοκληρώνουμε ως προς τότε ζητούμενο είναι: , αν όμως δεν είναι ως προς τότε το ζητούμενο βγαίνει ή όποια είναι η μεταβλητή... Για αυτό από τη μία μας δηλώνει τη μεταβλητή, από την άλλη ...... ;

[APOSTOLAKIS]

Ένα αρκετά πειστικό παράδειγμα είναι ότι αν γράφαμε , τότε το αποτέλεσμα θα ήταν ; . . . ή ; . . . ή . . .

Πράγματι, και υπάρχει και πιο περίπλοκη περίπτωση όταν έχουμε το εξής: στο οποίο δε γνωρίζουμε τη μεταβλητή ολοκλήρωσης έχουμε, διότι αν ολοκληρώνουμε ως προς τότε ζητούμενο είναι: , αν όμως δεν είναι ως προς τότε το ζητούμενο βγαίνει ή όποια είναι η μεταβλητή... Για αυτό από τη μία μας δηλώνει τη μεταβλητή, από την άλλη ...... ;

Ακόμα και στις περιπτώσεις που αναφέρεστε το εκφράζει το ίδιο πράγμα, δηλαδή είναι "ο οριζόντιος πυκνωτής" με .

[Tolaso J Kos]

β)Το καλείται βουβή μεταβλητή και μπορεί να αντικατασταθεί από κάποια άλλη μεταβλητή της προτίμησης μας.
Εκτός από το ίδιο το .
Έχω δεί με τα μάτια μου πασίγνωστο καθηγητή στατιστικής στο πανεπιστήμιο της αθήνας να γράφει στο πίνακα :

Ναι, εντάξει αυτό εννοείται. Δεν περίμενα βέβαια να δω κάτι τέτοιο.! Όπως το Όχι, εμάς ήταν καλός.. Όποτε δεν είχαμε απορίες , μας ρωτούσε ο ίδιος και δεν είχαμε και απάντηση.

Καλησπέρα,
και τόσο καιρό αναρωτιέμαι γιατί ο καθηγητής μου δε μου είχε πει για το περιορισμό. Βέβαια, στη παραπάνω δημοσίευση το θεώρησα με τα ελληνικά δεδομένα. Αργότερα , στις σημειώσεις έχω το εξής. ... Η βουβή μεταβλητή μπορεί να είναι και . Μας έχει δώσει ένα παράδειγμα , το οποίο το αιτιολογεί . Δεν το κατάλαβα , εξάλλου πληροφοριακά μας το είπε ο άνθρωπος.

[R BORIS]

ΕΔΩ