Να λυθεί η Διοφαντική x^2 - 2 = y^3

bouzoukman · #1

Με αφορμή τη δημοσίευση να λυθεί η Διοφαντική εξίσωση

$\displaystyle{ x^2 - 2 = y^3, }$

με $x,y\in\mathbb{Z}$ . Δεν έχω λύση με στοιχειώδη τρόπο ούτε και με αλγεβρική θεωρία αριθμών.

Peter Allen · #2

Χμμμ...Ίσως να υπάρχει λύση με αλγεβρική θεωρία αριθμών. Υποθέτω πως θα μπορούσες να ξεκινήσεις παραγοντοποιώντας στην επέκταση $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ . Έτσι θα μπορούσες να βγάλεις κυβική εξίσωση Thue, η οποία βέβαια όμως μπορεί να λυθεί μόνο με τη χρήση υπολογιστή... Πρέπει να έχει υπόψιν σου ότι αυτό το πρόβλημα οδηγεί αναπόφευκτα στην εικασία του Catalan, η οποία διετυπώθη το 1844 και ελύθη το 2002 από τον Mihăilescu, οπότε θα ήταν καλύτερο να σταματούσαμε αυτό το σχόλιο εδώ. Όμως είναι αρκετά ενδιαφέρον το γράφημα της εξίσωσης (παρατήρησε ότι είναι απλώς μια καμπύλη Mordell με n=2

). Οπότε γνωρίζουμε πως οι λύσεις είναι $(x,y)=(\pm{1},-1)$ , τις οποίες μπορείς εύκολα να επαληθεύσεις και μόνος σου.
Ορίστε το γράφημα της καμπύλης Mordell με n=2:

bouzoukman · #3

Peter Allen έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 30, 2021 12:51 am
Πρέπει να έχει υπόψιν σου ότι αυτό το πρόβλημα οδηγεί αναπόφευκτα στην εικασία του Catalan, η οποία διετυπώθη το 1844 και ελύθη το 2002 από τον Mihăilescu, οπότε θα ήταν καλύτερο να σταματούσαμε αυτό το σχόλιο εδώ.

Δυστυχώς αυτή η εξίσωση δεν καλύπτεται από την εικασία του Catalan γιατί έχουμε λύσεις για

αρνητικό!

Peter Allen έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 30, 2021 12:51 am
Χμμμ...Ίσως να υπάρχει λύση με αλγεβρική θεωρία αριθμών. Υποθέτω πως θα μπορούσες να ξεκινήσεις παραγοντοποιώντας στην επέκταση $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ . Έτσι θα μπορούσες να βγάλεις κυβική εξίσωση Thue, η οποία βέβαια όμως μπορεί να λυθεί μόνο με τη χρήση υπολογιστή...

Η λύση που έχω στο μυαλό μου είναι με χρήση Thue εξισώσεων αλλά είπα μήπως το αποφύγω αυτό. Θα βάλω τη λύση αργότερα μέσα στη βδομάδα.

#4

bouzoukman έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 01, 2021 5:22 pm

Δυστυχώς αυτή η εξίσωση δεν καλύπτεται από την εικασία του Catalan γιατί έχουμε λύσεις για αρνητικό!

Σωστό αλλά να μην διογκώνουμε. Το αριστερό μέλος είναι αρνητικό μόνο στις τετριμμένες περιπτώσεις $x=0,\, \pm 1$ . Η επίλυση της εξίσωσης αρχίζει από εκεί και πέρα.

Peter Allen · #5

Δεν είμαι σίγουρος ότι μπορείς να αποφύγεις τις εξισώσεις Thue, ωστόσο ίσως να βρεις κάτι ενδιαφέρον κοιτάζοντας την διακρίνουσα της καμπύλης παίρνοντάς την σε μορφή Weierstrass και να βγάλεις ίσως το πιο πιθανό συμπέρασμα... Δεν έχω κάτι άλλο να προσθέσω για τώρα.

2nisic · #6

Λάθος

bouzoukman · #7

2nisic έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 03, 2021 7:43 pm
Αλλά είναι γνωστό ότι: $a^{2}\equiv -2(modp)$ αν και μόνο αν $p\equiv 1,3(mod8)$

Εδώ δε θέλουμε $a^2\equiv -6\pmod{p}$ ; Ισχύει $\left(\frac{-6}{p}\right)=1$ αν και μόνο αν $a\equiv 1,5,7,11\pmod{24}$ .

Αρχιμήδης 6 · #8

Καλησπέρα!

x^2-2=y^3

Θα την μετασχηματισω σε
(y+2)^3=x^2+6(y+1)^2

Για να παίξω στον $Z[\sqrt{-6}]$ και αφού (x,y+1)=1

$x+(y+1)\sqrt{-6}=(a+b\sqrt{-6})^3$
y+1=3b(a^2-2b^2)

,

Υ Γ
Είμαι από κινητό .

bouzoukman · #9

Αρχιμήδης 6 έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 30, 2021 8:34 pm
Για να παίξω στον $Z[\sqrt{-6}]$ και αφού

Ωραία προσέγγιση! Εγώ απλώς θα ήθελα να ρωτήσω πώς δείχνουμε ότι $3\nmid (x, y+2)$ ; Χρειάζεται για να μπορούμε να δείξουμε ότι $x+(y+1)\sqrt{-6}$ είναι τέλειος κύβος.

Αρχιμήδης 6 · #10

bouzoukman έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 05, 2021 3:44 pm

Αρχιμήδης 6 έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 30, 2021 8:34 pm
Για να παίξω στον $Z[\sqrt{-6}]$ και αφού
Ωραία προσέγγιση! Εγώ απλώς θα ήθελα να ρωτήσω πώς δείχνουμε ότι $3\nmid (x, y+2)$ ; Χρειάζεται για να μπορούμε να δείξουμε ότι $x+(y+1)\sqrt{-6}$ είναι τέλειος κύβος.

Καλησπέρα! Αυτό προκύπτει εύκολα αρκεί να λύσεις την αρχική εξίσωση mod9

.

Να λυθεί η Διοφαντική x^2 - 2 = y^3

Να λυθεί η Διοφαντική x^2 - 2 = y^3

Re: Να λυθεί η Διοφαντική x^2 - 2 = y^3

Re: Να λυθεί η Διοφαντική x^2 - 2 = y^3

Re: Να λυθεί η Διοφαντική x^2 - 2 = y^3

Re: Να λυθεί η Διοφαντική x^2 - 2 = y^3

Re: Να λυθεί η Διοφαντική x^2 - 2 = y^3

Re: Να λυθεί η Διοφαντική x^2 - 2 = y^3

Re: Να λυθεί η Διοφαντική x^2 - 2 = y^3

Re: Να λυθεί η Διοφαντική x^2 - 2 = y^3

Re: Να λυθεί η Διοφαντική x^2 - 2 = y^3

Μέλη σε σύνδεση