Darboux 3

#1

Αν

είναι ένα διάστημα πραγματικών και $f:I \to \mathbb{R}$ μια συνάρτηση με την ιδιότητα Darboux, ώστε για κάθε

$y \in \mathbb{R}$ το σύνολο $A_y=\{x \in I, y=f(x) \}$ να είναι κενό ή πεπερασμένο, τότε να αποδειχθεί ότι η

είναι

συνεχής.

#2

Το επαναφέρω

peter · #3

Να κάνω μια απόπειρα: Αν όχι, τότε υπάρχουν $x_0\in \mathbb R$ , $\varepsilon_0>0$ και ακολουθία (x_n)

ώστε $x_n\to x_0$ και $|f(x_n)-f(x_0)|\geq \varepsilon_0$ . Μπορούμε να υποθέσουμε ότι η $(|x_n-x_0|)_{n\in \mathbb N}$ είναι γνησίως φθίνουσα (διαφορετικά περνάμε σε μια υπακολουθία). Επίσης, ένα τουλάχιστον από τα δυο σύνολα $I^-=\{n: f(x_n)\leq f(x_0)-\varepsilon_0\}$ και $I^+=\{n : f(x_n)\geq f(x_0)+\varepsilon_0\}$ είναι άπειρο. Έστω το πρώτο (εργαζόμαστε παρόμοια για την άλλη περίπτωση). Τότε, για κάθε

ορίζονται τα κιβωτισμένα διάστηματα [x_n,x_0]

ή

. Από την ιδιότητα ενδιάμεσης τιμής για κάθε $n\in \mathbb N$ βρίσκουμε z_n

ανάμεσα στα $x_0, \, x_n$ ώστε $f(z_n)=f(x_0)-\varepsilon_0/2=y_0$ . Τα z_n

είναι άπειρα, επομένως έχουμε αντίφαση για το σύνολο $A_{y_0}$ .

#4

Θα ήθελα να γράψω την σωστή ιδέα του Peter με έναν πιο κατανοητό τρόπο:

Έστω

το αριστερό άκρο του

και

το δεξιό άκρο του

Αν υποθέσουμε ότι η

δεν είναι συνεχής στο σημείο $x_0 \in (a,b)$ , τότε θα υπάρχει ακολουθία x_n

με

$x_n \to x_0$ και $\displaystyle\lim_{n \to \infty} f(x_n) \neq f(x_0)$

Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει $\varepsilon >0$ ώστε άπειροι όροι της f(x_n)

να βρίσκονται έξω από το διάστημα $(f(x_0)-\varepsilon, f(x_0)+\varepsilon)$

Αυτοί οι άπειροι όροι συνιστούν ένα σύνολο

Ένα τουλάχιστον άπειρο υποσύνολο

του

είναι υποσύνολο του $(a, f(x_0)-\varepsilon)$ ή του $(f(x_0)+\varepsilon, b)$

Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι ισχύει το πρώτο.

Τα στοιχεία του

συνιστούν μία υπακολουθία y_n

της

Θεωρούμε έναν αριθμό y_0

του διαστήματος $(f(x_0)-\varepsilon, f(x_0)$

Αφού η έχει την ιδιότητα σε κάθε διάστημα (f(y_n),f(x_0))

θα υπάρχει $z_n \in (y_n,x_0)$ (1) ώστε f(z_n)=y_0

Αλλά αφού το σύνολο $A_{y_0}$ είναι πεπερασμένο θα υπάρχει φυσικός n_0

ώστε $z_n=k, \forall n >n_0$ ,

συνεπώς $z_n \to k \neq x_0$ , άτοπο, γιατί, λόγω της (1) θα έχουμε $z_n \to x_0$

Πιο εύκολα αποδεικνύεται η περίπτωση που $a \in I, \vee b \in I$ και $x_0=a \vee x_0=b$

peter · #5

Να προσθέσουμε δυο ακόμη:

2. Αν η $f:\mathbb R\to \mathbb R$ έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσης τιμής και έχει κλειστό γράφημα, τότε είναι συνεχής. (Το αντίστροφο είναι προφανές).

3. Υπάρχει $f:\mathbb R\to \mathbb R$ , η οποία έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσης τιμής, έχει πυκνό γράφημα και είναι ασυνεχής;

#6

peter έγραψε:Να προσθέσουμε δυο ακόμη:

2. Αν η $f:\mathbb R\to \mathbb R$ έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσης τιμής και έχει κλειστό γράφημα, τότε είναι συνεχής. (Το αντίστροφο είναι προφανές).

3. Υπάρχει $f:\mathbb R\to \mathbb R$ , η οποία έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσης τιμής, έχει πυκνό γράφημα και είναι ασυνεχής;

Για το 2) Έστω πως η είναι ασυνεχής στο $x_0 \in \mathbb{R}$ , τότε θα υπάρχει ακολουθία x_n

με $x_n \to x_0$

και $\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x) \neq f(x_0)$

Άρα θα υπάρχει $\varepsilon >0$ ώστε άπειροι όροι της ακολουθίας να βρίσκονται εκτός του διαστήματος $(-\varepsilon+f(x_0), f(x_0)+\varepsilon)$ ,

χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι βρίσκονται στο $(-\infty,-\varepsilon+f(x_0))$ .

Με την ίδια λογική, όπως στην παραπάνω απόδειξη, βρίσκουμε ότι μπορούμε να βρούμε $y_1,y_2 \in (-\varepsilon +f(x_0), f(x_0)+\varepsilon)$

με y_1<y_2<f(x_0)

και ακολουθίες με z_n, w_n

, ώστε $z_n \to x_0$ , $w_n \to x_0$ και

f(z_n)=y_1

,

Άρα τα σημεία (x_0,y_1), (x_0,y_2)

είναι οριακά σημεία του συνόλου C_f

και λόγω της κλειστότητας του C_f

θα έχουμε $(x_0,y_1) \in C_f \wedge (x_0,y_2) \in C_f$ , άτοπο

Για το 3) βλέπουμε

peter · #7

4. Κάθε συνάρτηση $f:\mathbb R \to \mathbb R$ γράφεται ως διαφορά δυο συναρτήσεων οι οποίες έχουν την ιδιότητα Darboux.

#8

Συνεχίζω την ωραία αυτή συζήτηση.

Ο Peter, τον οποίο ευχαριστώ, μου θύμισε πως ένα παράδειγμα μιας συνάρτησης που έχει την ιδιότητα 3. είναι κάθε μία από τις

άπειρες συναρτήσεις* που απεικονίζουν κάθε διάστημα στο $\mathbb{R}$

Οι συναρτήσεις αυτές είναι και το κλειδί στην απόδειξη της πρότασης 4, που προτείνει ο Peter.

Η πρόταση αυτή είναι γνωστή με το όνομα Θεώρημα Sierpinski και μία απόδειξη της μπορείτε να δείτε και εδώ

http://mathproblems123.files.wordpress. ... ctions.pdf

* Οι συναρτήσεις αυτές είναι γνωστές ως Strongly Darboux functions και είναι παντού ασυνεχείς

#9

Ας συνεχίσουμε:

5. Αν το γράφημα C_f

της

είναι συνεκτικό, τότε η

έχει την ιδιότητα Darboux.

#10

Θα χρησιμοποιήσουμε απαγωγή σε άτοπο.

Έστω ότι η $\displaystyle{f:\left[ {a,b} \right] \to \mathbb{R}}$ δεν έχει την ιδιότητα Darboux. Τότε, υπάρχει υποδιάστημα $\displaystyle{\left[ {c,d} \right]}$ του $\displaystyle{\left[ {a,b} \right]}$ και αριθμός $\displaystyle{w}$ μεταξύ των $\displaystyle{f\left( c \right)}$ και $\displaystyle{f\left( d \right)}$ τέτοιος, ώστε $\displaystyle{f\left( x \right) \ne w}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \left[ {c,d} \right].}$ Υποθέτουμε, δίχως βλάβη της γενικότητας ότι $\displaystyle{f\left( c \right) < f\left( d \right).}$

Θέτουμε

$\displaystyle{U = \left( {\left( { - \infty ,c} \right) \times \mathbb{R}} \right) \cup \left( {\left( { - \infty ,d} \right) \times \left( { - \infty ,w} \right)} \right)}$

και

$\displaystyle{V = \left( {\left( {d, + \infty } \right) \times \mathbb{R}} \right) \cup \left( {\left( {c, + \infty } \right) \times \left( {w, + \infty } \right)} \right).}$

Τα σύνολα $\displaystyle{U}$ και $\displaystyle{V}$ είναι ανοικτά στο $\displaystyle{{{\mathbb{R}}^2},}$ με $\displaystyle{U \cap V = \emptyset }.$

Είναι, όμως, $\displaystyle{{C_f} \subset U \cup V}$ (από την υπόθεσή μας), $\displaystyle{{C_f} \cap U \ne \emptyset }$ και $\displaystyle{{C_f} \cap V \ne \emptyset ,}$ αφού $\displaystyle{\left( {c,f\left( c \right)} \right) \in {C_f} \cap U,}$ $\displaystyle{\left( {d,f\left( d \right)} \right) \in {C_f} \cap V.}$

Επομένως, το γράφημα $\displaystyle{{C_f}}$ της $\displaystyle{f}$ δεν είναι συνεκτικό, πράγμα άτοπο.

#11

Η φυσιολογική "συνέχεια" της συζήτησης:

6. Να δοθεί παράδειγμα συνάρτησης $\displaystyle{f,}$ η οποία έχει την ιδιότητα Darboux, αλλά το γράφημά της $\displaystyle{{C_f}}$ είναι μη συνεκτικό υποσύνολο του $\displaystyle{{\mathbb{R}^2}.}$

#12

Σωστά Βαγγέλη, η φυσική εξέλιξη του ερωτήματος. Να ένα παράδειγμα που γνωρίζω:

Έστω μία συνάρτηση

που απεικονίζει κάθε διάστημα στο $\mathbb{R}$ .

Θεωρούμε τη συνάρτηση

$g(x)= \begin{cases} f(x) &,f(x) \neq x\\ x+1 &, f(x)=x \end{cases}$

Εύκολα αποδεικνύεται πως η

είναι Darboux και $g(x) \neq x \forall x \in \mathbb{R}$

θεωρούμε τα ανοικτά σύνολα $A=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2, y>x\}$ και $B=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2, y<x\}$

Είναι μάλλον προφανές ότι $C_f \subset A \cup B$ , $C_f \cap A \neq \varnothing$ και

$C_f \cap B \neq \varnothing$

#13

Ωραία! Πάμε, λοιπόν, σε κάτι πιο ενδιαφέρον!

7. Αν η $\displaystyle{f}$ έχει αρχική, τότε να αποδειχθεί ότι το γράφημά της $\displaystyle{{C_f}}$ είναι συνεκτικό υποσύνολο του $\displaystyle{{\mathbb{R}^2}.}$

#14

Βαγγέλη, μας βάζεις πολύ πολύ δύσκολα. Πάνω στο θέμα έχω υπ' όψιν μου μία πολύ δύσκολη απόδειξη (περιγράφεται συνοπτικά στο

βιβλίο των Van Rooij- Schikhof: A Second course on Real Functions) μιας ισχυρότερης πρότασης

Μία συνάρτηση πρώτης κλάσεως Baire, η οποία έχει την ιδιότητα Darboux έχει συνεκτικό γράφημα.

Ξέρω επίσης ότι την πρόταση που προτείνεις την απέδειξαν πρώτη φορά το 1925 οι Kuratowski-Kraster, δεν γνωρίζω όμως την

απόδειξη, ούτε γνωρίζω αν έχει βρεθεί κάποια απλούστερη.

Darboux 3

Darboux 3

Re: Darboux 3

Re: Darboux 3

Re: Darboux 3

Re: Darboux 3

Re: Darboux 3

Re: Darboux 3

Re: Darboux 3

Re: Darboux 3

Re: Darboux 3

Re: Darboux 3

Re: Darboux 3

Re: Darboux 3

Re: Darboux 3

Μέλη σε σύνδεση