Εφαπτόμενες από σταθερό σημείο

Γιώργος Απόκης · #1

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\frac{ln(ax)}{x},~x>0,~a>0}$ και η εφαπτομένη της, $\epsilon$ , στο σημείο A(t,f(t)),~t>0

.

α) Να δείξετε ότι για τις διάφορες τιμές του θετικού

η $\epsilon$ διέρχεται από σταθερό σημείο

.

β) Ποιός είναι ο γεωμετρικός τόπος του

για $t \in (0,+\infty)$ ;

pito · #2

Η εφαπτομένη (ε) είναι της μορφής $y-f(t)=f'(t)(x-t)\Rightarrow y-\frac{ln(at)}{t}=\frac{1-ln(at)}{t^{2}}(x-t)$

Στην τελευταία για a=1

έχουμε $y-\frac{lnt}{t}=\frac{1-lnt}{t^{2}}(x-t)$ και για a=e

έχουμε $y-\frac{1+lnt}{t}=-\frac{lnt}{t^{2}}(x-t)$

Λύνοντας το σύστημα των παραπάνω προκύπτει x=2t

και $y=\frac{1}{t}$ αντικαθιστώντας το $M(2t,\frac{1}{t})$ στην αρχική εφαπτομένη προκύπτει $\frac{1-ln(at)}{t}=\frac{1-ln(at)}{t}$

ισχύει άρα όλες οι εφαπτομένες περνούν από το σταθερό σημείο $M(2t,\frac{1}{t})$

β) Είναι για το

: $x=2t\Rightarrow t=\frac{x}{2}, y=\frac{1}{t}$ και $y=\frac{2}{x}$ η τελευταία είναι ο γεωμετρικός τόπος του

Υ.Γ: Γιώργο σε ευχαριστώ είχα ένα λαθάκι στην παράγωγο, το διόρθωσα( Τελικά για να μην κάνω λάθη πρέπει να γράφω "με επιφύλαξη"

)

Γιώργος Απόκης · #3

Kαλημέρα pito! Έχω βρει $\displaystyle{M\left(2t,\frac{1}{t}\right)}$ και, άρα, άλλο γ.τ. Κάτι γίνεται...

Εφαπτόμενες από σταθερό σημείο

Εφαπτόμενες από σταθερό σημείο

Re: Εφαπτόμενες από σταθερό σημείο

Re: Εφαπτόμενες από σταθερό σημείο

Μέλη σε σύνδεση