Μονότονη, φραγμένη, συγκλίνουσα ακολουθία

#1

Έστω η ακολουθία $\left({\alpha_{\nu}}\right)_{\nu\in\mathbb{N}}$ με

$\alpha_{1}=k$ και $\alpha_{\nu}=\alpha_{\nu-1}^{2}-\alpha_{\nu-1}+1$ , $\nu\geqslant2$ .

Νά βρεθεί γιά ποιές τιμές του πραγματικού

, η ακολουθία είναι:
α) μονότονη ,
β) φραγμένη ,
γ) συγκλίνουσα.

Pla.pa.s · #2

α) Για κάθε $n \geq 2$ έχουμε $a_{\nu-1}^2-a_{\nu-1}+1 \geq a_{\nu-1} \Leftrightarrow (a_{\nu-1}-1)^2 \geq 0$ που ισχύει, δηλαδή τελικά $a_{\nu} \geq a_{\nu-1}, \forall \nu \geq 2$ . Οπότε $a_{\mu+1} \geq a_{\mu}, \forall \mu \geq 1$ οπότε η $a_{\nu}$ είναι μονότονη (αύξουσα) για οποιαδήποτε τιμή του $k \in \mathbb R$ .

β) Παρατηρώντας τη μονοτονία της συνάρτησης f(x)=x^2-x+1

βλέπουμε ότι είναι πάντα θετική και ότι $f([0,1])=[\frac{3}{4},1]$ (1),
ενώ f(x)>1

για $x \notin [0,1]$ .
Ας πούμε ότι $1 \geq a_{1} \geq 0$ .
Έστω τώρα ότι $1 \geq a_{\nu} \geq 0$ τότε λόγω της (1) έχουμε $1 \geq a_{\nu}^2-a{\nu}+1 \geq \frac{3}{4} \Rightarrow 1 \geq a_{\nu+1} \geq 0$ .
Επομένως από την αρχή της επαγωγής έχουμε ότι $1 \geq a_{\nu} \geq 0$ για κάθε θετικό $\nu$ .
Δηλαδή η $(a_{\nu})$ είναι φραγμένη από το

και το

.

Για τις υπόλοιπες περιπτώσεις μελετάμε πρώτα την ακολουθία $b_{\nu}=\frac{a_{\nu+1}}{a_{\nu}}= a_{\nu} -1 +\frac{1}{a_{\nu}}$ .
Τότε έχουμε $b_{\nu} \geq b_{\nu-1} \Leftrightarrow a_{\nu}+\frac{1}{a_{\nu}} \geq a_{\nu-1}+\frac{1}{a_{\nu-1}} \Leftrightarrow (a_{\nu}-a_{\nu-1})(1-\frac{1}{a_{\nu}a_{\nu-1}}) \geq 0 \Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow 1 \geq \frac{1}{a_{\nu}a_{\nu-1}}$ (2) αφού η ακολουθία $(a_{\nu})$ είναι αύξουσα.
Έστω τώρα ότι k>1

, τότε $a_{\nu} \geq a_{1}=k>1$ κι άρα $a_{\nu}a_{\nu-1} >1$ κι οπότε ισχύει η 2 κι άρα η $(b_{\nu})$ είναι αύξουσα.
Όμως $b_1=k-1+\frac{1}{k} >1$ αφού $k+\frac{1}{k}>2$ για k>1

. Συνεπώς $\frac{a_{\nu+1}}{a_{\nu}} \geq \frac{a_{2}}{a_{1}} >1$ για κάθε $\nu$ .
Από αυτό καταλήγουμε ότι η $(a_{\nu})$ τείνει στο $+ \infty$ καθώς το $\nu$ τείνει στο $+\infty$ κι άρα δεν είναι φραγμένη.

Η μόνη περίπτωση που έμεινε είναι k<0

όπου τότε από τη μονοτονία της συνάρτησης f(x)

έχουμε βρει ότι f(x)>1

για $x \notin [0,1]$ κι άρα $a_{2}>1$ και ακολουθώντας την ίδια διαδικασία με πριν βρίσκουμε ότι $\frac{a_{\nu+1}}{a_{\nu}} \geq \frac{a_{3}}{a_{2}} >1$ για κάθε $\nu \geq 2$ κι άρα και πάλι καταλήγουμε ότι η $(a_{\nu})$ δεν είναι φραγμένη.

Συνεπώς η $(a_{\nu})$ είναι φραγμένη αν και μόνο αν $k \in [0,1]$ .

γ) Αν η $a_{\nu}$ είναι φραγμένη και μονότονη, τότε είναι συγκλίνουσα οπότε η $a_{\nu}$ είναι σίγουρα συγκλίνουσα όταν $k \in [0,1]$ . Από την άλλη αν δεν είναι φραγμένη, τότε δεν μπορεί να είναι συγκλίνουσα. Συνεπώς η $(a_{\nu})$ είναι συγκλίνουσα αν και μόνο αν $k \in [0,1]$ (μάλιστα παίρνοντας τα όρια στην αρχική σχέση βλέπουμε πως κάθε φορά συγκλίνει στο

).

#3

Μιά κάπως διαφορετική προσέγγιση για τα β) και γ):

Έστω ότι γιά κάποιες τιμές του

η ακολουθία είναι φραγμένη. Τότε θα είναι και συγκλίνουσα και, αν $\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}\alpha_{\nu}=l$ , θα ισχύει $l=l^2-l+1\quad\Leftrightarrow\quad({l-1})^2=0\quad\Leftrightarrow\quad{l}=1$ .

Επειδή, για κάθε $k\in\mathbb{R}$ , η ακολουθία είναι αύξουσα, για να είναι φραγμένη πρέπει, γιά κάθε $\nu\in\mathbb{N}$ , να ισχύει $\alpha_2\leqslant\ldots\leqslant\alpha_{\nu}\leqslant1\quad\Rightarrow\quad{k^2-k+1}\leqslant1\quad\Rightarrow\quad{k\,({k-1})}\leqslant0\quad\Rightarrow$
$0\leqslant{k}\leqslant1$ .

Τέλος, εύκολα αποδεικνύεται ότι, είτε γιά k<0

, είτε γιά k>1

, η ακολουθία δεν συγκλίνει στο $\mathbb{R}$ .
Αν k<0

, τότε $k^2-k+1>k^2+1>1\quad\Rightarrow\quad\alpha_{\nu}\geqslant\alpha_{2}=k^2-k+1>1$ . Άτοπο, αφού, αν συνέκλινε θα έπρεπε να συγκλίνει στό

, ενώ συγχρόνως είναι αύξουσα.
Γιά τον ίδιο λόγο καταλήγουμε σε άτοπο, υποθέτωντας ότι k>1

, αφού προκύπτει $\alpha_{\nu}\geqslant\alpha_{1}=k>1\,.\quad\square$

Μονότονη, φραγμένη, συγκλίνουσα ακολουθία

Μονότονη, φραγμένη, συγκλίνουσα ακολουθία

Re: Μονότονη, φραγμένη, συγκλίνουσα ακολουθία

Re: Μονότονη, φραγμένη, συγκλίνουσα ακολουθία

Μέλη σε σύνδεση