Ακόμη μία για επανάληψη

mathxl · #1

Έστω f πολυωνυμική ( αντί παραγωγίσιμη ) συνάρτηση με f : R-> R , για την οποία
υπάρχει κ σταθερός, μη μηδενικός πραγματικός, ώστε f( x + κ ) = f ( x ) για κάθε πραγματικό x.
Έστω ακόμη οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις g,h : R -> R , για τις οποίες ισχύουν
$\displaystyle{\begin{array}{l} h\left( {x + 1} \right) - h\left( {x - 1} \right) = 6x^2 + 2,\forall x \in R \\ h(x) = x^3 + g(x),\forall x \in R \\ \end{array}}$
$\displaystyle{g\left( {2009} \right) = - \frac{1}{{2007}}\int_{\int_0^\kappa {f\left( x \right)dx} }^{\int_{2009}^{2009 + \kappa } {f\left( x \right)dx} } {f\left( t \right)dt} }$
i.
Να υπολογίσετε το g(2009)
ιι.
Να δείξετε ότι η f είναι σταθερή
ιιι.
Να βρείτε την h(x)

#2

mathxl έγραψε:Έστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση με f : R-> R , για την οποία
υπάρχει κ σταθερός, μη μηδενικός πραγματικός, ώστε f( x + κ ) = f ( x ) για κάθε πραγματικό x.
Έστω ακόμη οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις g,h : R -> R , για τις οποίες ισχύουν
$\begin{array}{l} h\left( {x + 1} \right) - h\left( {x - 1} \right) = 6x^2 + 2,\forall x \in R \\ h(x) = x^3 + g(x),\forall x \in R \\ \end{array}$
i.
Να δείξετε ότι η f είναι σταθερή

Η συνθήκη: $\left({\exists\,\kappa\neq0}\right)\left({\forall\,x\in\mathbb{R}}\right)$ $f(x+\kappa)=f(x)$ κάνει τήν

μόνο περιοδική καί όχι σταθερή.

π.χ. γιά τήν μή-σταθερη παραγωγίσιμη $f(x)=\eta\mu\left({\frac{2\pi}{\kappa}\,x}\right)$ ισχύει
$f(x+\kappa)=\eta\mu\left({\frac{2\pi}{\kappa}\,(x+\kappa)}\right)=\eta\mu\left({\frac{2\pi}{\kappa}\,x+{\frac{2\pi}{\kappa}\,\kappa}\right)=$
$\eta\mu\left({\frac{2\pi}{\kappa}\,x+2\pi}\right)=\eta\mu\left({\frac{2\pi}{\kappa}\,x}\right)=f(x)$ .

Μάλλον κάτι λείπει στήν εκφώνηση;

mathxl · #3

Γρηγόρη έχεις δίκιο. Την άσκηση την βρήκα από ξένο βιβλίο και "έφαγα ότι η f είναι πολυωνυμική" .Την πείραξα λιγάκι... βάζοντας δικά μου υποερωτήματα..

Ευχαριστώ για την ωραιότατη παρατήρηση - αντιπαράδειγμα σου.

#4

mathxl έγραψε:Γρηγόρη έχεις δίκιο. Την άσκηση την βρήκα από ξένο βιβλίο και "έφαγα ότι η f είναι πολυωνυμική" .Την πείραξα λιγάκι... βάζοντας δικά μου υποερωτήματα..

Ευχαριστώ για την ωραιότατη παρατήρηση - αντιπαράδειγμα σου.

Η άσκηση μπορεί νά σώζεται (?) άν η σχέση

$g\left( {2009} \right) = -\displaystyle \frac{1}{{2007}}\int_{\int_0^\kappa {f\left( x \right)dx} }^{\int_{2009}^{2009 + \kappa } {f\left( x \right)dx} } {f\left( t \right)dt}$ πού δίνεται στό i. είναι δεδομένο τής άσκησης.
Κάτι πού δέν φαίνεται έτσι όπως είναι γραμμένο.

Πάντως προσωπικά δέν θά τό επιχειρούσα...

mathxl · #5

Νομίζω΄ότι τώρα έστρωσε

#6

mathxl έγραψε:Έστω f πολυωνυμική συνάρτηση με f : R-> R , για την οποία
υπάρχει κ σταθερός, μη μηδενικός πραγματικός, ώστε f( x + κ ) = f ( x ) για κάθε πραγματικό x.
<....>
ιι.
Να δείξετε ότι η f είναι σταθερή

<...>

mathxl,
Στην αρχική διατύπωση η άσκηση έλεγε "πολυωνυμική" αλλά μετά αυτό άλλαξε ως εσφαλμένο.
Όμως το "πολυωνυνιμυμική + περιοδική = σταθερή" είναι σωστό:

Στο [0, κ] η πολυωνυμική f, ως συνεχής, είναι φραγμένη. Η συνθήκη f( x + κ ) = f ( x ) για κάθε πραγματικό x,
κάνει την f φραγμένη σε όλο το R. Άρα f σταθερή (αν ο μεγιστοβάθμιος όρος της f ήταν n $\ge$ 1,
τότε δεν θα ήταν φραγμένη).

Μήπως πρέπει να ξαναδείς την αλλαγή;

Φιλικάμ

Μιχάλης

mathxl · #7

Μιχάλη
Στην αρχική διατύπωση λέει μόνο ότι είναι παραγωγίσιμη
Σκόπιμα έφαγα το πολυωνυμική για να αποφύγουμε μεθόδους σαν την δική σου ή άλλα μονοπάτια που αφορούν πολυωνυμικές

Για περιοδική ούτε λόγος.
Ο Γρηγόρης όμως έδειξε ότι αν αντικαταστήσω το πολυωνυμική με το παραγωγίσιμη τότε έχουμε πρόβλημα

Κάτι ακόμη, καλό αυτό με τις φραγμένες αλλά είναι εκτός ύλης για την γ΄λυκείου

#8

mathxl έγραψε:Μιχάλη
Στην αρχική διατύπωση λέει μόνο ότι είναι παραγωγίσιμη
Σκόπιμα έφαγα το πολυωνυμική για να αποφύγουμε μεθόδους σαν την δική σου ή άλλα μονοπάτια που αφορούν πολυωνυμικές
Για περιοδική ούτε λόγος.
Ο Γρηγόρης όμως έδειξε ότι αν αντικαταστήσω το πολυωνυμική με το παραγωγίσιμη τότε έχουμε πρόβλημα

Κάτι ακόμη, καλό αυτό με τις φραγμένες αλλά είναι εκτός ύλης για την γ΄λυκείου

mathxl,

Συγνώμη που επανέρχομαι, αλλά πάλι δεν καταλαβαίνω κάτι.

1) Το παράδειγμα του Γρηγόρη δεν αναιρεί το γεγονός ότι "πολυωνυμική + περιοδική = σταθερή".

2) Αφού η άσκηση είναι από ξένο βιβλίο, δεν οφείλει η λύση να είναι εντός ύλης γ ' Λυκείου.

Εν πάσει περιπτώσει, αν δεν σε βάζω σε κόπο, θα ήθελα να έβλεπα την διατύπωση όπως ακριβώς είναι στο ξένο βιβλίο. Πιστεύω ότι η άσκηση είναι επιλύσιμη.

Χωρίς να ξέρω τι ακριβώς λέει η διατύπωση στο ξένο βιβλίο αλλά χρησιμοποιώντας όσα έγραψες στο μήνυμα στη κορυφή, μπορούν να βγουν πολλά συμπεράσματα. Π.χ.

Από την περιοδικότητα της f (ακόμη και αν δεν υποθέσουμε ότι είναι πολυωνυμική) έχουμε

$\int_{0}^{k}{f(x)dx}=\int_{2009}^{2009+k}{f(x)dx}$

οπότε εύκολα βλέπουμε από την δοθείσα σχέση ότι g(2009) = 0 .

Επίσης προσθέτοντας κατα μέλη τις h(x+1)-h(x-1)=6x^2+2

για x = 2, 4, 6, ... , 2008

θα βρούμε h(2009) - h(1) = 6(2^2 + 4^2 + ... + 2008^2) + 2(2 + 4 + ... + 2008)

= γνωστό.

Αλλά h(2009) = 2009^3 + g(2009) = 2009^3 + 0

, συνεπώς βρίσκουμε την τιμή του h(1)

και λοιπά.

Φιλικά,

Μιχάλης.

mathxl · #9

Mihalis_Lambrou έγραψε:
mathxl έγραψε:Μιχάλη
Στην αρχική διατύπωση λέει μόνο ότι είναι παραγωγίσιμη
Σκόπιμα έφαγα το πολυωνυμική για να αποφύγουμε μεθόδους σαν την δική σου ή άλλα μονοπάτια που αφορούν πολυωνυμικές
Για περιοδική ούτε λόγος.
Ο Γρηγόρης όμως έδειξε ότι αν αντικαταστήσω το πολυωνυμική με το παραγωγίσιμη τότε έχουμε πρόβλημα

Κάτι ακόμη, καλό αυτό με τις φραγμένες αλλά είναι εκτός ύλης για την γ΄λυκείου
mathxl,

Συγνώμη που επανέρχομαι, αλλά πάλι δεν καταλαβαίνω κάτι.

1) Το παράδειγμα του Γρηγόρη δεν αναιρεί το γεγονός ότι "πολυωνυμική + περιοδική = σταθερή". (δεν το αμφισβητώ

2) Αφού η άσκηση είναι από ξένο βιβλίο, δεν οφείλει η λύση να είναι εντός ύλης γ ' Λυκείου.ούτε αυτό

Εν πάσει περιπτώσει, αν δεν σε βάζω σε κόπο, θα ήθελα να έβλεπα την διατύπωση όπως ακριβώς είναι στο ξένο βιβλίο. Πιστεύω ότι η άσκηση είναι επιλύσιμη.

Χωρίς να ξέρω τι ακριβώς λέει η διατύπωση στο ξένο βιβλίο αλλά χρησιμοποιώντας όσα έγραψες στο μήνυμα στη κορυφή, μπορούν να βγουν πολλά συμπεράσματα. Π.χ.

Από την περιοδικότητα της f (ακόμη και αν δεν υποθέσουμε ότι είναι πολυωνυμική) έχουμε

$\int_{0}^{k}{f(x)dx}=\int_{2009}^{2009+k}{f(x)dx}$

οπότε εύκολα βλέπουμε από την δοθείσα σχέση ότι g(2009) = 0 .

Επίσης προσθέτοντας κατα μέλη τις για x = 2, 4, 6, ... , 2008

θα βρούμε = γνωστό.

Αλλά , συνεπώς βρίσκουμε την τιμή του h(1)

και λοιπά.

Φιλικά,

Μιχάλης.

Μιχάλη
Είναι αργά κα θα κοιμηθώ, αύριο θα ανεβάσω την ξενόγλωσση διατύπωση
Ευχαριστώ για τις ιδέες σου (εννοώ την ωραία λύση με την φραγμένη και την δεύτερη προσέγγιση σου)
Στην δεύτερη προσέγγιση σου, βρίσκεις το g(2009) πολύ γρήγορα φωτογραφίζοντας όμως τον σχολικό τρόπο
Μία απορία στην προσέγγιση σου αυτή

γράφεις h(2009) - h(1) = 6(2^2 + 4^2 + ... + 2008^2) + 2(2 + 4 + ... + 2008)

= γνωστό
είναι σίγουρο ότι ανεβαίνοντας με βήμα 2 θα βρούμε το h(x+1) ;;

Πάντως προσπάθησα να κρύψω δεδομένα όπως της περιοδικότητας και ότι η συνάρτηση είναι πολυωνυμική για να την κάνω όσο πιο σχολική και ενδιαφέρουσα γίνεται

Γιαυτό παρακαλώ οι λύσεις να είναι σχολικές.
Υ.Γ. Ο Μιχάλης της άλλαξε τα φώτα

με την πρώτη του προσέγγιση

Καληνύχτα

#10

mathxl έγραψε: είναι σίγουρο ότι ανεβαίνοντας με βήμα 2 θα βρούμε το h(x+1) ;;

Καληνύχτα

Σωστά επισημαίνεις, δεν θα φτάσουμε από το h(1)
στο γενικό h(x) με δυάρια. Γι αυτό θέλω να δω τι ακριβώς έχει
η εκφώνηση.
Αν π.χ. ξέραμε ότι και η h πολυωνυμική, τότε μπορούμε να την βρούμε
(απάντηση: h(x) = x^3 + c όπου η σταθερά είναι τέτοια που να κάνει
την τιμή της h(2009) ίση με όσο βρήκαμε παραπάνω).

Ας προσθέσω ότι πουθενά δεν μπήκε η υπόθεση της παραγωγισιμότητας. Μήπως η
εκφώνηση στο ξένο βιβλίο μιλάει μόνο για πολυωνυμικές;

Και ένα τελευταίο: Το να δείξουμε ότι "f πολυωνυμική + περιοδική = σταθερή"
γίνεται με πολλούς τρόπους. Πιστεύω ότι κάποιοι ίσως είναι εντός ύλης.

Π.χ. Αν f μη σταθερή πολυωνυμική τότε έχει ρίζα (αναπόδεικτο βέβαια στο βιβλίο, αλλά
δηλώνεται). Αν α ρίζα της f, τότε η f θα έχει άπειρες ρίζες, τις α, α+κ, α+2κ, ... Άτοπο

'Αλλος τρόπος: Η περιοδικότητα δίνει f(0) = f(k) = f(2k) = f(3k) = ... , άτοπο εκτός αν f σταθερή.

Καληνύχτα.

Μιχάλης.

mathxl · #11

Kαλημέρα
Την εκφώνηση δεν μπορώ να την ποστάρω, αφού το βιβλίο είναι σπίτι και εγώ είμαι σχολείο. όταν πάω σπίτι θα το κάνω, αν και "προδίδει" το (ιιι) υποερώτημα.
Όσον αφορά για τις g,h έχεις δίκιο είναι πολυωνυμικές. Έκανα την κουταμάρα να το διορθόσω μόνο για την f .
Ζητώ συγνώμη από όσους την προσπάθησαν και τους ταλαιπώρησα

mathxl · #12

H λύση μου (δεν μου αρέσει το η απόδειξη του ii)
Κάτι πιο ωραίο;;;;;;; (σχολικό)

mathxl · #13

mathxl έγραψε:H λύση μου (δεν μου αρέσει το η απόδειξη του ii)
Κάτι πιο ωραίο;;;;;;; (σχολικό)

Το ii δεν ήταν ολοκληρωμένο λόγω βιασύνης
Το νέο αρχείο το έχει ολοκληρωμένο
Εξακολουθεί να μην με αρέσει ο τρόπος μου
Εάν κάποιος συνάδελφος έχει κάτι πιο κομψό και σχολικό ωσ λύση θα ήθελα να το δω

Μιχάλη από το παρακάτω κομμάτι κατασκεύασα την άσκηση
Proposition 4.2. Suppose f(x) is a polynomial which is periodic in the sense
that there exists some a $\ne$ 0 for which f(x + a) = f(x), for all real x. Then
f(x) = c for all x.
The proof is routine. Now let us consider how this can be applied to functional
equations. Suppose a solution, say f0(x) has been found to a given polynomial
equation. We must ask whether this is the only solution, or whether there are
others. We can write a general solution in the form
f(x) = f0(x) + g(x) ,
where g(x) is some polynomial whose form is to be determined. It may be
possible to show that g(x) satisfies the conditions of Proposition 4.2, and
thereby to conclude that all solutions of the equation have the form f0(x)+c.
Example 4.3. To illustrate this, consider all polynomials satisfying the equation
f(x + 1) − f(x − 1) = 6 x2 + 2.
By inspection, we can observe that f0(x) = x3 is a solution. But is it the only
one? Letting a general solution have the form f(x) = x3 + g(x), we plug into
our equation to obtain
g(x + 1) − g(x − 1) = 0 for all x .
So g(x) is a polynomial satisfying the conditions of Proposition 4.2 with a = 2.
Therefore f(x) = x3 +c. It is immediately seen that any value of c will work.

#14

mathxl έγραψε:
mathxl έγραψε:H λύση μου (δεν μου αρέσει το η απόδειξη του ii)
Κάτι πιο ωραίο;;;;;;; (σχολικό)
Το ii δεν ήταν ολοκληρωμένο λόγω βιασύνης
Το νέο αρχείο το έχει ολοκληρωμένο
Εξακολουθεί να μην με αρέσει ο τρόπος μου
Εάν κάποιος συνάδελφος έχει κάτι πιο κομψό και σχολικό ωσ λύση θα ήθελα να το δω

Πολύ ωραία όλα. Ευχαριστούμε θερμά.

Μία βελτίωση (ως προς τα εργαλεία που χρησιμοποιούνται) μιας από τις 3 αποδείξεις που έδωσα της
"πολυωνυμική + περιοδική = σταθερή" :

Είχα γράψει (πρώτη απόδειξη) ότι

Στο [0, κ] η πολυωνυμική f, ως συνεχής, είναι φραγμένη. Η συνθήκη f( x + κ ) = f ( x ) για κάθε πραγματικό x,
κάνει την f φραγμένη σε όλο το R. Άρα f σταθερή (αν ο μεγιστοβάθμιος όρος της f ήταν $n \ge 1$ n \ge 1,
τότε δεν θα ήταν φραγμένη).

Αυτό που "φοβίζει" είναι ότι χρησιμοποιείται θεώρημα της Γ' Λυκείου (συνεχής συνεπάγεται φραγμένη) για άσκηση της Β' Λυκείου.
Μπορούμε να το παρακάμψουμε λέγοντας: Αν $|x| \le M$ τότε η πολυωνυμική είναι φραγμένη απλόυστατα διότι
$\display|a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1| \le |a_n||x^n| + |a_{n-1}||x^{n-1}| + ... + |a_1|$ $\le |a_n||M^n| + |a_{n-1}||M^{n-1}| + ... + |a_1|$ = σταθερός. Και λοιπά.

Φιλικά,

Μιχάλης.

Ακόμη μία για επανάληψη

Ακόμη μία για επανάληψη

Re: Ακόμη μία για επανάληψη

Re: Ακόμη μία για επανάληψη

Re: Ακόμη μία για επανάληψη

Re: Ακόμη μία για επανάληψη

Re: Ακόμη μία για επανάληψη

Re: Ακόμη μία για επανάληψη

Re: Ακόμη μία για επανάληψη

Re: Ακόμη μία για επανάληψη

Re: Ακόμη μία για επανάληψη

Re: Ακόμη μία για επανάληψη

Re: Ακόμη μία για επανάληψη

Re: Ακόμη μία για επανάληψη

Re: Ακόμη μία για επανάληψη

Μέλη σε σύνδεση