Ανισότητα με συναρτήσεις και παραγώγους

#1

Η συνάρτηση $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο και f(a)=f(b)=0

Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{max\{\left|f(x)\right|, x \in [a,b]\} \le \frac {b-a}{2}max\{\left|f{'}(x)\right|, x \in [a,b]\}}$

#2

To $\displaystyle{max(|f|)=M_0=|f(x_0)|}$ με $\displaystyle{a<x_0<b}$ αφού $\displaystyle{f(a)=f(b)=0}$ μάλιστα το $\displaystyle{M_0=max(|minf|,|maxf|)}$

Από Fermat $\displaystyle{f'(x_0)=0}$

Από ΘΜΤ υπάρχει $\displaystyle{c\in (a,x_0):f'(c)=\frac{ M_0-0}{x_0-a}\Rightarrow |f'(c)|=\frac{M_0}{x_0-a}}$
Πάλι από ΘΜΤ υπάρχει $\displaystyle{d\in (x_0,b):f'(d)=\frac{ M_0-0}{x_0-b}\Rightarrow |f'(d)|=\frac{M_0}{b-x_0}}$

ενα εκ των $\displaystyle{b-x_0,x_0-a}$ είναι < από το $\displaystyle{\frac{b-a}{2}}$ αρα πχ $\displaystyle{max|f'(x)|\ge |f'(d)|\ge \frac{M_0}{\frac{b-a}{2}}=\frac{max|f(x)|}{\frac{b-a}{2}}}$

Ανισότητα με συναρτήσεις και παραγώγους

Ανισότητα με συναρτήσεις και παραγώγους

Re: Ανισότητα με συναρτήσεις και παραγώγους

Μέλη σε σύνδεση