Δεν είναι πολλά !

KARKAR · #1

Bρείτε όλα τα κλάσματα $\displaystyle\frac{x}{y}$ , τα αποία ικανοποιούν τη σχέση : $\displaystyle\frac{x}{y}+\frac{x+3y}{y+3x}=3$

#2

Είναι $\displaystyle y \ne 0\; \wedge y \ne - 3x$

$\displaystyle \frac{x}{y} + \frac{{x + 3y}}{{y + 3x}} = 3 \Leftrightarrow \frac{x}{y} + \frac{{\frac{x}{y} + 3}}{{1 + 3\frac{x}{y}}} = 3$ (1)

Θέτω $\displaystyle \frac{x}{y} = a,\;\;a \ne \frac{{ - 1}}{3}$ οπότε η (1) γίνεται:

$\displaystyle a + \frac{{a + 3}}{{1 + 3a}} = 3 \Leftrightarrow a + 3a^2 + a + 3 = 3 + 9a \Leftrightarrow 3a^2 - 7a = 0 \Leftrightarrow a = 0 \vee a = \frac{7}{3}$

Γιώργος Απόκης · #3

Με τους περιορισμούς $x\ne0,~y\ne -3x$ έχουμε ισοδύναμα

$x(y+3x)+y(x+3y)=3y(y+3x)\Leftrightarrow xy+3x^2+yx+3y^2=3y^2+9xy\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 3x^2-7xy=0\Leftrightarrow x(3x-7y)=0$ δηλ. $x=0,~y\ne 0$ ή $\displaystyle{x=\frac{7}{3}y,~y\ne 0}$

Edit: Με πρόλαβε ο Γιώργος! Αφήνω αφού διαφέρει λίγο η λύση...

Δεν είναι πολλά !

Δεν είναι πολλά !

Re: Δεν είναι πολλά !

Re: Δεν είναι πολλά !

Μέλη σε σύνδεση