Ιδιότητα γεωμετρικής προόδου

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #1

Καλησπέρα σε όλους

Διαβάζοντας μετά από καιρό προόδους σήμερα έμαθα ότι ισχύει το εξής:

Σε κάθε γεωμετρική πρόοδο με ν (το πλήθος) θετικούς όρους,
ο μέσος αριθμητικός του πρώτου και του τελευταίου όρου είναι μεγαλύτερος του μέσου αριθμητικού όλων των όρων της προόδου.

Τι λέτε πάμε για μια απόδειξη;
Θωμάς
Υ.Γ
Με υπόδειξη του φίλου μας Σπύρου Καρδαμήτση ας θέσουμε % MathType!MTEF!2!1!+-
% feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbeqabeqaceGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaeq4UdWMaey
% iyIKRaaGymaaaa!3A2E!

\displaystyle \lambda \ne 1

#2

Θωμά ωραία άσκηση, αλλά πέραν της επαγωγικής αποδεικτικής μεθόδου, ψάχνω να βρω μια πιο ''αλγεβρική''.
Μεχρι στιγμής, άνθρακες ο θησαυρός. Που θα μου πάει , όμως;

hsiodos · #3

Καλησπέρα σε όλους

Μια απόδειξη μπορούμε να δώσουμε αν χρησιμοποιήσουμε την παρακάτω πρόταση-λήμμα:

Σε κάθε γεωμετρική πρόοδο $(\alpha _\nu),\nu \in N^*$ με θετικούς όρους και λόγο διάφορο της μονάδας ισχύει $\alpha _1+\alpha _\nu>\alpha _\kappa +\alpha _{\nu -\kappa +1}$ $,\nu \in N^*$ και 1< κ< ν.

Γιώργος

smypmopd · #4

Μια απόδειξη, έχοντας πάρει την περίπτωση αύξουσας γεωμετρικής προόδου. Δεν αλλάζει και πολύ η λύση και για την άλλη περίπτωση.

: progr1.png (19.5 KiB) Προβλήθηκε 1731 φορές

#5

Θέλουμε λοιπόν να δείξουμε ότι (με $l\neq 1$ συμβολίζω το λόγο της προόδου)

$\displaystyle\frac{1+l^{n-1}}{2} > \displaystyle\frac{1+l+l^2+\cdots + l^{n-1}}{n}$ άρα αρκεί να δείξουμε ότι

$n\left(1+l^{n-1}\right) > 2\left(1+l+l^2+\cdots + l^{n-1}\right)$ δηλαδή
$\left(1-l\right)\left(1-l^{n-2}\right) + \left(1-l^2\right)\left(1-l^{n-3}\right) + \cdots + \left(1-l^{n-2}\right)\left(1-l\right) > 0$ το οποίο ισχύει καθώς κάθε ένας προσθετέος στο τελευταίο άθροισμα είναι θετικός (απλά διακρίνουμε τις περιπτώσεις l>1

και

).

Πολύ καλό αποτέλεσμα Θωμά!

Αλέξανδρος

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #6

Να έχουμε μια καλή και ευχάριστη Κυριακή.

Στο συνημένο έχω τη πλήρη λύση, βασισμένη στην ιδέα του Αλέξανδρου.

Σε επόμενο post θα δώσω και μια άλλη άσκηση βασισμένη στην ίδια ιδέα.

Θωμάς

hsiodos · #7

hsiodos έγραψε:Καλησπέρα σε όλους

Μια απόδειξη μπορούμε να δώσουμε αν χρησιμοποιήσουμε την παρακάτω πρόταση-λήμμα:

Σε κάθε γεωμετρική πρόοδο $(\alpha _\nu),\nu \in N^*$ με θετικούς όρους και λόγο διάφορο της μονάδας ισχύει $\alpha _1+\alpha _\nu>\alpha _\kappa +\alpha _{\nu -\kappa +1}$ \displaystyle{,\nu \in N^* $και 1< κ< ν. </strong> Γιώργος</div></blockquote> Καλημέρα Πολύ ωραία η απόδειξη του Αλέξανδρου. Ας γράψω και την απόδειξη που είχα κατά νου. <strong class="text-strong">Απόδειξη του λήμματος</strong> Θέλουμε να δείξουμε ότι$ \alpha _1+\alpha _\nu>\alpha _\kappa +\alpha _{\nu -\kappa +1}\,\,\,\,\,\acute{\eta }\alpha _1+\alpha _1\lambda ^{\nu -1}>\alpha _1\lambda ^{\kappa -1}+\alpha _1\lambda ^{\nu -\kappa }\,\,\,\,\,\acute{\eta }\alpha _1\lambda ^{\nu -1}-\alpha _1\lambda ^{\nu -\kappa }>\alpha _1\lambda ^{\kappa -1} -\alpha _1\,\,\,\,\,\acute{\eta }} $\alpha _1\lambda ^{\nu -\kappa }(\lambda ^{\kappa -1}-1)>\alpha _1(\lambda ^{\kappa -1} -1)$ δηλαδή

$\lambda ^{\nu -\kappa }>1\,\,\,\,\,\mu \varepsilon\,\,\,\,\,\, \lambda >1$ ή $\lambda ^{\nu -\kappa }<1\,\,\,\,\,\mu \varepsilon\,\,\,\,\,\, 0<\lambda <1$ που προφανώς ισχύει.

Απόδειξη της άσκησης του Θωμά
Χρησιμοποιώντας το λήμμα διαδοχικά έχουμε:
α) για άρτιο πλήθος όρων
$\alpha _1+\alpha _\nu \geq \alpha _1+\alpha _\nu$
$\alpha _1+\alpha _\nu > \alpha _2+\alpha _{\nu-1}$

$\alpha _1+\alpha _\nu > \alpha _{\frac{\nu }{2}}+\alpha _{\frac{\nu }{2}+1}$

Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε $\frac{\nu }{2}(\alpha _1+\alpha _\nu) > S_\nu \Rightarrow \frac{\alpha _1+\alpha _\nu}{2}>\frac{S_\nu }{\nu }$
β) για περιττό πλήθος όρων
$\alpha _1+\alpha _\nu \geq \alpha _1+\alpha _\nu$
$\alpha _1+\alpha _\nu > \alpha _2+\alpha _{\nu-1}$

$\alpha _1+\alpha _\nu > \alpha _{\frac{\nu -1}{2}}+\alpha _{\frac{\nu+3 }{2}}$
$\alpha _1+\alpha _\nu > 2\alpha _{\frac{\nu +1}{2}}$

Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε $\frac{\nu -1}{2}(\alpha _1+\alpha _\nu) + \frac{1}{2}(\alpha _1+\alpha _\nu)> S_\nu\Rightarrow \frac{\nu }{2}(\alpha _1+\alpha _\nu) > S_\nu \Rightarrow \frac{\alpha _1+\alpha _\nu}{2}>\frac{S_\nu }{\nu }$

Γιώργος

Υ.Γ Γράφοντας βλέπω ότι έχει δοθεί απόδειξη από τον Θωμά , θα την διαβάσω μετά.

Γιώργος Ροδόπουλος

Ιδιότητα γεωμετρικής προόδου

Ιδιότητα γεωμετρικής προόδου

Re: Ιδιότητα γεωμετρικής προόδου

Re: Ιδιότητα γεωμετρικής προόδου

Re: Ιδιότητα γεωμετρικής προόδου

Re: Ιδιότητα γεωμετρικής προόδου

Re: Ιδιότητα γεωμετρικής προόδου

Re: Ιδιότητα γεωμετρικής προόδου

Re: Ιδιότητα γεωμετρικής προόδου

Re: Ιδιότητα γεωμετρικής προόδου

Re: Ιδιότητα γεωμετρικής προόδου

Re: Ιδιότητα γεωμετρικής προόδου

Re: Ιδιότητα γεωμετρικής προόδου

Μέλη σε σύνδεση