Πρόβλημα χρωματισμού

[Ανδρέας Πούλος]

Οι πλευρές κάθε κανονικού εξαγώνου χρωματίζονται μόνο με τα χρώματα γαλάζιο, κόκκινο και μαύρο, χωρίς περιορισμό στην επανάληψη των χρωμάτων.
1. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να χρωματιστεί ένα κανονικό εξάγωνο;
2. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να χρωματιστεί ένα σχήμα που αποτελείται από 3 ίσα εξάγωνα, όπως αυτό που φαίνεται παρακάτω.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

[Mihalis_Lambrou]

Ανδρέα, μήπως πρέπει να διευκρινίσεις αν οι στροφές του εξαγώνου μετράνε ως ίδιες ή όχι;

Όπως και να είναι, μου φαίνεται αρκετά απλή άσκηση για διαγωνισμό σε επίπεδο Ολυμπιάδων για Seniors, αλλά ίσως δεν κατάλαβα κάτι από την ερώτηση.

Φιλικά,

Μιχάλης

[Ανδρέας Πούλος]

Μιχάλη, έχεις δίκαιο. Η διευκρίνση είναι απαραίτητη.
Αν το εξάγωνο βαφεί και περιστραφεί (ως προς το επίπεδό του) και είναι ίδιο με ένα άλλο "αντίτυπό" του,
τότε θεωρούμε ότι η βαφή είναι η ίδια.
Το αν είναι θέμα για τους Juniors, ειδικά το δεύτερο ερώτημα, θα φανεί από τις απαντήσεις των Juniors και των Seniors.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

[Ανδρέας Πούλος]

Αρχίζω και βιώνω το δράμα της απόρριψης και της περιφρόνησης.
Παρακαλώ, βοηθήστε με.
Σε λίγο, δεν θα μπορώ να παίξω ούτε μπουζούκι, ούτε πάντζο.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

[Demetres]

Επειδή υπάρχουν έξι πλευρές και τρία χρώματα υπάρχουν ακριβώς χρωματισμοί. Τους χωρίζουμε τώρα σε ομάδες ανάλογα με το πόσους διαφορετικούς χρωματισμούς παίρνουμε από τις περιστροφές του εξαγώνου:

(α) Για τους 3 χρωματισμούς όπου όλες οι πλευρές είναι το ίδιο χρώμα, όπως και να περιστρέψουμε το εξάγωνο παίρνουμε τον ίδιο χρωματισμό.
(β) Για τους 6 χρωματισμούς όπου χρησιμοποιούνται μόνο δυο χρώματα που πάνε εναλλάξ, κάθε ένας από αυτούς δίνει δυο διαφορετικούς χρωματισμούς.
(γ) Για τους χρωματισμούς που δεν ανήκουν στην κατηγορία (α) και όπου οι απέναντι πλευρές έχουν το ίδιο χρώμα, για κάθε ένα από αυτούς παίρνουμε τρεις διαφορετικούς χρωματισμούς από περιστροφές.
(δ) Για όλους τους άλλου χρωματισμούς, κάθε περιστροφή δίνει διαφορετικό χρωματισμό.

Οπότε αν δυο χρωματισμοί θεωρούνται ίδιοι αν προκύπτουν από περιστροφή του εξαγώνου τότε έχουμε διπλομετρήσεις τους χρωματισμούς της ομάδας (β), τριπλομετρήσει αυτούς της (γ) και μετρήσει από 6 φορές τον κάθε ένα αυτούς της (δ). Επομένως με αυτήν την συνθήκη έχουμε



διαφορετικούς χρωματισμούς.

Το ερώτημα με τα τρία εξάγωνα αφήνεται σαν άσκηση. Είναι πιο εύκολο!

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Αν έχω κάνει σωστά τις πράξεις βγάζω 4783131 διαφορετικούς χρωματισμούς.

Για όσους γνωρίζουν θεωρία ομάδων, υπάρχει και αυτός ο τρόπος για να κάνεις την αρίθμηση. (Βλέπεις Αντρέα πως δεν είσαι ο μόνος που δεν σε παίζουν;)