Ίσες γωνίες ( Β ΚΑΤΕΥΘ )

KARKAR · #1

Αξιοποιώντας τα δεδομένα του σχήματος , δείξτε ότι : $\phi=\omega$

Μέχρι 26/12

Γιώργος Απόκης · #2

Μια λύση με λίγη... παρανομία! Έχουμε $\displaystyle{\epsilon \phi \phi=\lambda_{AB}=\frac{a-0}{3a-a}=\frac{1}{2}}$ και $\displaystyle{\epsilon \phi y=\lambda_{OA}=\frac{a-0}{3a-0}=\frac{1}{3}}$ .

Επίσης, $\displaystyle{\epsilon \phi x=\lambda_{CA}=\frac{a-0}{3a-2a}=1$ άρα $x=45^{o}$ . Η γωνία

είναι εξωτερική στο OAC

, άρα

$\displaystyle{x=y+\omega\Leftrightarrow \epsilon \phi 45^{o}=\epsilon \phi (y+\omega)\Leftrightarrow 1=\frac{\epsilon \phi y+\epsilon \phi \omega}{1-\epsilon \phi y\epsilon \phi \omega}\Leftrightarrow 1=\frac{\frac{1}{3}+\epsilon \phi \omega}{1-\frac{1}{3}\epsilon \phi \omega}\Leftrightarrow \frac{1}{3}+\epsilon \phi \omega=1-\frac{1}{3}\epsilon \phi \omega\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 3\epsilon \phi \omega+1=3-\epsilon \phi \omega\Leftrightarrow \epsilon \phi \omega =\frac{1}{2}=\epsilon \phi \phi}$ και αφού οι $\phi,\omega$ είναι γωνίες τριγώνου έχουμε $\phi=\omega$ .

vasilis.volos.13 · #3

Ένας άλλος τρόπος και με εσωτερικό γινόμενο
Αφήνεται ως άσκηση στους μαθητες της β΄ λυκείου

parmenides51 · #4

vasilis.volos.13 έγραψε:Ένας άλλος τρόπος και με εσωτερικό γινόμενο ...

$\displaystyle{O(0,0),A(3a,a),B(a,0),C(2a,0)}$

$\displaystyle{\overrightarrow {BC}=(2a-a,0-0)=(a,0)}$
$\displaystyle{\overrightarrow {BA}=(3a-a,a-0)=(2a,a)}$
$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu\phi=\sigma \upsilon \nu \widehat{(\overrightarrow {BC},\overrightarrow {BA})}=\frac{\overrightarrow {BC}\cdot\overrightarrow {BA}}{|\overrightarrow {BC}|\cdot|\overrightarrow {BC}|}=\frac{(a,0)(2a,a)}{\sqrt{a^2+0^2}\sqrt{(2a)^2+a^2}}=\frac{a\cdot 2a+0\cdot a}{\sqrt{a^2}\sqrt{5a^2}}=\frac{2a^2}{\sqrt5a^2}=\frac{2}{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5}$

$\displaystyle{\overrightarrow {AO}=(0-3a,0-a)=(-3a,-a)}$
$\displaystyle{\overrightarrow {AC}=(2a-3a,0-a)=(-a,-a)}$
$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu\omega =\sigma \upsilon \nu \widehat{(\overrightarrow {AO},\overrightarrow {AC})}=\frac{\overrightarrow {AO}\cdot\overrightarrow {AC}}{|\overrightarrow {AO}|\cdot|\overrightarrow {AC}|}=\frac{(-3a,-a)(-a,-a)}{\sqrt{(-3a)^2+(-a)^2}\sqrt{(-a)^2+(-a)^2}}$
$\displaystyle{=\frac{-3a(-a)-a(-a)}{\sqrt{10a^2}\sqrt{2a^2}}=\frac{3a^2+a^2}{\sqrt20a^2}=\frac{4a^2}{\sqrt4\sqrt5a^2}=\frac{4}{2\sqrt5}=\frac{2}{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5}$

Άρα $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu\phi=\frac{2\sqrt5}{5}=\sigma \upsilon \nu\omega}$ κι επειδή οι $\displaystyle{\phi,\omega}$ είναι οξείες γωνίες συμπεραίνουμε πως $\displaystyle{\phi=\omega}$

akis15 · #5

Δεν θα μπορούσε να λυθεί με όμοια τρίγωνα?

parmenides51 · #6

akis15 έγραψε:Δεν θα μπορούσε να λυθεί με όμοια τρίγωνα?

Ποια τρίγωνα βλέπεις όμοια; Έφερες κάποιο σημείο βοηθητικό;
Ενδεχομένως να λύνεται. Καλύτερα να περιγράψεις την σκέψη σου ...

#7

akis15 έγραψε:Δεν θα μπορούσε να λυθεί με όμοια τρίγωνα?

Πράγματι λύνεται και μάλιστα πολύ εύκολα

Προσπάθησε γωνιακά και μετρικά (αρκετά εύκολα) να δείξεις ότι: $\displaystyle{ \vartriangle OAC \sim \vartriangle ACB }$ γιατί $\displaystyle{ \frac{{? \cdot 1}} {{? \cdot \sqrt 2 }} = \frac{{? \cdot \sqrt 2 }} {{? \cdot 2}} }$

Φιλικά
Στάθης

akis15 · #8

Μπορεί να ειμαι λάθος αλλα τα CBA και COA γιατί C κοινή γωνία και εύκολα βγαίνει ότι έχουν δύο πλευρές ανάλογες

Edit:Με προλάβατε κ.Στάθη

parmenides51 · #9

#10

Προτείνω και την εξής λύση με ΝΟΜΙΜΑ (για την ώρα...

) εργαλεία της Β΄ Λυκείου..

: 09-1-2012 Γεωμετρία.jpg (18.33 KiB) Προβλήθηκε 846 φορές

Από Πυθαγόρειο Θεώρημα:

Είναι $\displaystyle {\rm A}C^2 = \alpha ^2 + \alpha ^2 = 2\alpha ^2 \Rightarrow {\rm A}C = \alpha \sqrt 2$

Είναι $\displaystyle {\rm A}{\rm B}^2 = \alpha ^2 + \left( {2\alpha } \right)^2 = 5\alpha ^2 \Rightarrow {\rm A}{\rm B} = \alpha \sqrt 5$

Είναι $\displaystyle {\rm A}{\rm O}^2 = \alpha ^2 + \left( {3\alpha } \right)^2 = 10\alpha ^2 \Rightarrow {\rm A}{\rm O} = \alpha \sqrt {10}$

Είναι $\displaystyle \sigma \upsilon \nu \phi = \frac{{2\alpha }}{{\alpha \sqrt 5 }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}$

Είναι $\displaystyle OC^2 = AO^2 + AC^2 - 2 \cdot AO \cdot AC \cdot \sigma \upsilon \nu \omega \Rightarrow \sigma \upsilon \nu \omega = \frac{{10\alpha ^2 + 2\alpha ^2 - 4\alpha ^2 }}{{2\alpha ^2 \sqrt {20} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}$

Αφού οι γωνίες $\displaystyle \omega ,\;\;\phi$ είναι οξείες είναι ίσες.

Μια παρόμοια ΕΔΩ, η οποία μέσω άλλων συνδέσμων μάς οδηγεί και σε άλλες παρόμοιες...

Ίσες γωνίες ( Β ΚΑΤΕΥΘ )

Ίσες γωνίες ( Β ΚΑΤΕΥΘ )

Re: Ίσες γωνίες ( Β ΚΑΤΕΥΘ )

Re: Ίσες γωνίες ( Β ΚΑΤΕΥΘ )

Re: Ίσες γωνίες ( Β ΚΑΤΕΥΘ )

Re: Ίσες γωνίες ( Β ΚΑΤΕΥΘ )

Re: Ίσες γωνίες ( Β ΚΑΤΕΥΘ )

Re: Ίσες γωνίες ( Β ΚΑΤΕΥΘ )

Re: Ίσες γωνίες ( Β ΚΑΤΕΥΘ )

Re: Ίσες γωνίες ( Β ΚΑΤΕΥΘ )

Re: Ίσες γωνίες ( Β ΚΑΤΕΥΘ )

Μέλη σε σύνδεση