Δροσερή Γεωμετρία...(1)

#1

Θεωρούμε δύο κύκλους (O,R) και (Ο', R') οι οποίοι εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο S' . Αν ΑΑ' είναι μια κοινή τους εξωτερική εφαπτομένη και S'H = d , η απόσταση του S' απο την ΑΑ' ( Η ίχνος του S' στην ΑΑ' ), τότε να αποδείξετε
πως:
$\displaystyle{\displaystyle \frac{2} {d} = \frac{1} {R} + \frac{1} {{R^{\prime} }} }$

#2

: Geom 01.png (5.64 KiB) Προβλήθηκε 1102 φορές

Είναι: (ΑΗS΄Ο) + (Α΄ΗS΄O΄) = (ΑΟΟ΄Α΄)

$\displaystyle \frac{{R + d}}{2} \cdot AH + \frac{{R^\prime + d}}{2} \cdot A^\prime H = \frac{{R + R^\prime}}{2}\left( {{\rm A}{\rm H} + {\rm A}^\prime{\rm H}} \right)\;\; \Leftrightarrow$
$\left( {\left( {R + d} \right) - \left( {R + R^\prime} \right)} \right) \cdot AH = \;\left( {\left( {R + R^\prime} \right) - \left( {R^\prime + d} \right)} \right) \cdot A^\prime H$

$\displaystyle \frac{{AH}}{{A^\prime H}} = \frac{{R - d}}{{d - R^\prime}}\;\; \Leftrightarrow \;\;\frac{R}{{R^\prime}} = \frac{{R - d}}{{d - R^\prime}}\;\;$
$\Leftrightarrow \;\;Rd - RR^\prime = RR^\prime - R^\prime d$ (από Θ. Θαλή ΑΟ // S΄Η // Α΄Ο΄)
οπότε $\displaystyle Rd + R^\prime d = 2RR^\prime\;\; \Leftrightarrow \;\;\frac{1}{{R^\prime}} + \frac{1}{R} = \frac{2}{d}$ (διαιρέσαμε με RR΄d).

Γιώργος Ρίζος

edit 11:27 Να συμπληρώσω ότι η παραπάνω επεξεργασία αφορά την περίπτωση όπου R διάφορο R΄. Στην περίπτωση d = R΄ θα είναι και R = R΄, οπότε η προς απόδειξη σχέση προφανώς ισχύει.

#3

Με βάση το σχήμα του Γιώργου αποδείξτε γεωμετρικά (για δυο όρους) την ανίσωση Cauchy Αριθ.Μ>=Γεωμ.Μ>=Αρμ.Μ

#4

Πολύ ενδιαφέρουσα η προέκταση του Ροδόλφου. Ευχαριστούμε!

: Geom 02.png (4.48 KiB) Προβλήθηκε 1040 φορές

Φέρνουμε ΟΚ // ΑΑ΄, οπότε ΟΚ = ΑΑ΄.
Από Πυθ. Θεώρημα στο ΚΟΟ΄ είναι: ΟΚ² = (R + R΄)² - (R΄ - R)² = ... 4RR΄,
οπότε ΟΚ = $\displaystyle2\sqrt {RR^\prime}$ .
Τότε, από τριγ. ανισότητα ΟΟ΄ > ΟΚ => $\displaystyle\frac{{R + R^\prime}}{2} > \sqrt {RR^\prime}$ .
Από την παραπάνω σχέση είναι: $\displaystyle\frac{1}{{R^\prime}} + \frac{1}{R} = \frac{2}{d}\;\Leftrightarrow \;d = \frac{{2RR^\prime}}{{R + R^\prime}}$ .

Φέρνουμε την κοινή εξωτερική εφαπτομένη των δύο κύκλων στο S΄ που τέμνει την ΑΑ΄ στο Μ. Τότε ΜS΄ = ΑΜ = Α΄Μ = OK/2.
Όμως, ΜS΄ > S΄Η => $\displaystyle\sqrt {RR^\prime} > d\;\; \Rightarrow \;\;\sqrt {RR^\prime} > \frac{{2RR^\prime}}{{R + R^\prime}}$ .

Δίχως να χαλά η γενικότητα υπέθεσα R΄ > R. (Η περίπτωση ισότητας είναι τετριμμένη).
Άλλη λύση: Παρατηρούμε ότι το ΑS΄Α΄ είναι ορθογώνιο, εφόσον ΜS΄ = ΑΜ = Α΄Μ και S΄Η ύψος στην υποτείνουσα. Μετρικές σχέσεις κ.ο.κ. ...

Γιώργος Ρίζος

Δροσερή Γεωμετρία...(1)

Δροσερή Γεωμετρία...(1)

Re: Δροσερή Γεωμετρία...(1)

Re: Δροσερή Γεωμετρία...(1)

Re: Δροσερή Γεωμετρία...(1)

Μέλη σε σύνδεση