Απορία σε όρια

Γιώργος Απόκης · #1

Μια απορία... Χωρίς να γνωρίζουμε αν υπάρχουν τα όρια των f,g

στο $+\infty$ , από το δεδομένο ότι

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty} (f^2(x)+x^2g^2(x))=0}$ (και f,g

ορισμένες στο $\mathbb R$ ), συμπεραίνουμε ότι $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=0}$ ;

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #2

Νομίζω πως ναι, δίνω έναν τροπο λύσης (πιστεύω σωστό)

Έχουμε $\displaystyle{0 \le {f^2}(x) \le {f^2}(x) + {x^2}{g^2}(x) \Rightarrow \left| {f(x)} \right| \le \sqrt {{f^2}(x) + {x^2}{g^2}(x)} \Rightarrow }$

$\displaystyle{ - \sqrt {{f^2}(x) + {x^2}{g^2}(x)} \le f(x) \le \sqrt {{f^2}(x) + {x^2}{g^2}(x)} }$

και $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - \sqrt {{f^2}(x) + {x^2}{g^2}(x)} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{f^2}(x) + {x^2}{g^2}(x)} } \right) = 0}$

Οπότε από κριτήριο παρεμβολής έχουμε $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 0}$

Ομοια για την $\displaystyle{g}$

#3

Γιώργος Απόκης έγραψε:Μια απορία... Χωρίς να γνωρίζουμε αν υπάρχουν τα όρια των στο $+\infty$ , από το δεδομένο ότι

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty} (f^2(x)+x^2g^2(x))=0}$ (και ορισμένες στο $\mathbb R$ ), συμπεραίνουμε ότι $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=0}$ ;

Ναι:

H $\displaystyle{0 \le f^2(x) \le f^2(x)+x^2g^2(x)}$ δίνει το πρώτο όριο.
Από $\displaystyle{0 \le x^2g^2(x) \le f^2(x)+x^2g^2(x)}$ έχουμε ότι $\displaystyle{x^2g^2(x) }$ τείνει στο

, άρα
από

$\displaystyle{ 0\le g^2(x) = x^2g^2(x) \cdot \frac {1}{x^2}$ ἐχουμε και το άλλο.

Μ.

Γιώργος Απόκης · #4

Eυχαριστώ πολύ και τους δύο!

Απορία σε όρια

Απορία σε όρια

Re: Απορία σε όρια

Re: Απορία σε όρια

Re: Απορία σε όρια

Μέλη σε σύνδεση