Περίεργο Όριο

Eukleidis · #1

Υπολογισθήτω το όριο:
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\tfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \tfrac{1}{{{x^2}}}} \right)}$

mathxl · #2

Αυτό κάπου πρέπει να το έχουμε ξαναδεί. Κάπως κακογραμμένα τυροπιτάλ δίνουν
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{\textstyle{{x - \sin x} \over {x - x\cos x}}}} \right)\mathop = \limits_{\left( {\frac{0}{0}} \right)}^{DLH} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{\textstyle{{1 - \cos x} \over {1 - \cos x + x\sin x}}}} \right)\mathop = \limits_{\left( {\frac{0}{0}} \right)}^{DLH} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{\textstyle{{\sin x} \over {2\sin x + x\cos x}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{\textstyle{{\frac{{\sin x}}{x}} \over {2\frac{{\sin x}}{x} + \cos x}}}} \right) = \frac{1}{3}}$
οπότε
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{\textstyle{1 \over {{{\sin }^2}x}}} - {\textstyle{1 \over {{x^2}}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{\textstyle{{{x^2} - {{\sin }^2}x} \over {{x^2}{{\sin }^2}x}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{\textstyle{{1 - \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{x^2}}}} \over {{{\sin }^2}x}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{\textstyle{{1 - \frac{{\sin x}}{x}} \over {1 - \cos x}}}} \right)\left( {{\textstyle{{1 + \frac{{\sin x}}{x}} \over {1 + \cos x}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{\textstyle{{x - \sin x} \over {x - x\cos x}}}} \right)\left( {{\textstyle{{1 + \frac{{\sin x}}{x}} \over {1 + \cos x}}}} \right) = \frac{1}{3}}$

parmenides51 · #3

εδώ, εδώ κι εδώ

Περίεργο Όριο

Περίεργο Όριο

Re: Περίεργο Όριο

Re: Περίεργο Όριο

Μέλη σε σύνδεση