Μεσότοπος

[KARKAR]

Τρίγωνο έχει ως βάση , τη σταθερή χορδή ενός κύκλου , ενώ η τρίτη κορυφή κινείται επί του κύκλου .

Το ύψος από το , τέμνει την εσωτερική και την εξωτερική διχοτόμο της στα σημεία αντίστοιχα .

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου του τμήματος .

[S.E.Louridas]

Έστω το μέσο του τόξου απέναντι από την κορυφή και το αντιδιαμετρικό του

Λόγω της (1) κατανοούμε ότι το κινείται σε σταθερό κύκλο και λόγω της (2) κατανοούμε ότι το κινείται επίσης σε σταθερό κύκλο.
Αυτοί οι κύκλοι, έστω ότι τέμνονται και σε ένα άλλο σταθερό σημείο έστω το
Άρα οι κύκλοι αυτοί τέμνονται σε δυο σταθερά σημεία
Οι γωνίες, λοιπόν, του τριγώνου διατηρούνται σταθερές άρα το τρίγωνο παραμένει όμοιο προς τον εαυτό του και επομένως η γωνία
διατηρεί το μέτρο της και επομένως το θα κινείται σε σταθερό τόξο που τα σημεία του βλέπουν τη σταθερή χορδή

Παρατήρηση:
Αν τα σημεία που κινούνται στους σταθερούς κύκλους και οι κύκλοι αυτοί αντί να τέμνονται στα να εφάπτονταν στο και θεωρήσουμε τα
αντιδιαμετρικά του ως πρός τους κύκλους αυτούς, τότε ο ζητούμενος γ. τόπος θα ήταν ο κύκλος με διάμετρο το όπου το μέσο του

S.E.Louridas

[KARKAR]

Σωτήρη , συμπάθα με , αλλά δεν κατάλαβα τη λύση σου ! Δεν έχει και σχήμα ...

Παραθέτω μία ημιτελή προσπάθεια , ελπίζοντας σε συμπλήρωση ...

Το ίχνος του ύψους , κινείται ασφαλώς σε κύκλο διαμέτρου . Επειδή ο λόγος

είναι σταθερός , τότε λόγω ομοιοθεσίας , το θα κινείται σε κύκλο διαμέτρου

( με στην προέκταση της ) . Αλλά γιατί ο λόγος είναι σταθερός ?

[vittasko]

Θανάση καλημέρα.

Μπορούμε να επικαλεστούμε ότι ο λόγος που αναφέρεις είναι σταθερός, από το ότι η δέσμη είναι πάντοτε αρμονική αφού η γωνία παραμένει σταθερή και δύο ακτίνες της δέσμης, διχοτομούν τις γωνίες που σχηματίζουν οι άλλες δύο.

Άρα, και η σημειοσειρά είναι επίσης αρμονική και επομένως συμπεραίνεται ότι ο λόγος δύο συγκεκριμένων τμημάτων της, παραμένει σταθερός.

Κώστας Βήττας.

[p_gianno]

Εξετάζω με βάση το σχήμα την περίπτωση που η γωνία είναι οξεία.

Φέρω από τα σημεία τις παράλληλες προς την ευθείες
Από θεώρημα Θαλή και εσωτερικής διχοτόμου έχουμε
διότι
το τργ με γωνίες σταθερές στο μέτρο παραμένει όμοιο προς εαυτό για τις διάφορες θέσεις του
άρα και ο λόγος είναι σταθερός.
Συνεπώς το σημείο είναι σταθερό σημείο της
Όμοια καταλήγουμε ότι το σταθερό σημείο της ευθείας .
διάμεσος του τραπεζίου και λόγω Θαλή η σχέση συνεπάγεται άρα σταθερό
Είναι φανερό ότι το διαγράφει τόξο κύκλου διαμέτρου και συγκεκριμένα το ημικύκλιο αφού

[S.E.Louridas]

Κατ’ αρχήν Θανάση αν κάποιος φταίει που δεν έγινε κατανοητή ή λύση μου είμαι αποκλειστικά εγώ που την παρουσίασα (I take the responsibility).
Έκανα την λύση σε γενικότερο επίπεδο από την περίπτωση που η διχοτόμος τέμνει το ύψος, με βάση την γενικώτερη σκέψη στην περίπτωση δηλαδή που η διχοτόμος τέμνει τυχούσα ευθεία διερχόμενη από την κορυφή που όμως η τυχούσα αυτή ευθεία και καθ’ όλη την κίνηση διατηρεί την γωνία της με την σταθερή δηλ. δεδομένου μέτρου.
Τώρα η λύση της άσκησης που εισηγήθηκες είναι ακριβώς η λύση που αναφέρω στην παρατήρηση μου καθότι οι κύκλοι (πράσινοι διακεκομμένοι) εφάπτονται στο και αυτό επειδή
Αυτό οδηγεί πλέον άμεσα στο ότι ο γ. τόπος είναι ο κόκκινος κύκλος.
Και αυτό επειδή οδηγούμεθα στο εξής πρόβλημα:
«Δίνονται δύο κύκλοι, εφαπτόμενοι εσωτερικά σε σημείο
Θεωρούμε από το σημείο ευθεία που τέμνει τον μέσα κύκλο στο και τον μεγαλύτερο στο Βρείτε τον γ. τόπο των μέσων του

(*) Σημασία έχει, στην ημέτερη λύση, να δούμε ότι οι πράσινοι κύκλοι είναι σταθεροί κατά την διάρκεια της κίνησης.

S.E.Louridas