Παράγοντες μονικού πολυωνύμου

#1

Αν το πολυώνυμο $f\in\mathbb{Z}[x]$ είναι μονικό (συντελεστής μεγιστοβάθμιου 1), τότε κάθε μονικός παράγοντας του

στο $\mathbb{Q}[x]$ είναι στοιχείο του $\mathbb{Z}[x]$ .
(Πιστεύω λύνεται και με στοιχειώδεις μεθόδους).

#2

Λοιπόν Αναστάση,

Έστω $g(x)\in \mathbb{Q}[x]$ ένας μονικός παράγοντας του f(x)

. Άρα:

$f(x)=g(x)\cdot h(x)$ , με $h(x)\in \mathbb{Q}[x]$ επίσης μονικό.

Έστω m,n

τo ΕΚΠ των παρανομαστών των συντελεστών των πολυωνύμων g, h

αντίστοιχα.

Οπότε, $mg(x), nh(x)\in \mathbb{Z}[x].$ Ονομάζουμε, $g_{1}(x):=mg(x)$ και $h_{1}(x)=nh(x).$
Τότε,

$mnf(x)=g_{1}(x)h_{1}(x)\in \mathbb{Z}[x].$

Αν ένας πρώτος

διαιρεί το

τότε: (modulo p)

$0=\bar{g}_{1}(x)\cdot\bar{h}_{1}(x)$ στο $\mathbb{F}_{p}[x]$ .

Όμως, το $\mathbb{F}_{p}[x]$ είναι ακέραια περιοχή (δεν έχει διαιρέτες του μηδενός), άρα,

το

διαιρεί όλους τους συντελεστές τουλάχιστον ενός από τα $g_{1}, h_{1},$ έστω του $g_{1}$ . Επειδή το g(x)

είναι μονικό και ο

διαιρει όλους τους συντελεστές του $mg(x)=g_{1}(x)$ , έπεται ότι διαιρεί το

. Οπότε, το πολυώνυμο $\frac{m}{p}g(x)$ είναι στοιχείο του $\mathbb{Z}[x]$ .

Άτοπο, από τον ορισμό του

.

Σχόλια:

(1) Η απόδειξη της παραπάνω πρότασης είναι σχεδόν ίδια με την απόδειξη του λήμματος του Gauss:

Έστω $f(x)\in \mathbb{Z}[x].$ Αν το έχει μη τετριμμένη παραγοντοποίηση στο , τότε έχει και μη τετριμμένη ανάλυση στο $\mathbb{Z}[x]$ .

(2) Ας δούμε και μια άλλη απόδειξη της πρότασης (πολύ πιο όμορφη κατα την γνώμη μου από την προηγούμενη):

(θα χρειαστούμε όμως κάποια βασικά της Αλγεβρικής θεωρίας αριθμών)

Έστω $\alpha_{1},\ldots,\alpha_{m}$ οι ρίζες του

στο $\mathbb{C}$ . Αυτές θα είναι αλγεβρικοί ακέραιοι αφού $f\in \mathbb{Z}[x].$ Οι συντελεστές οποιουδήποτε μονικού παράγοντα του

θα είναι πολυωνυμικές παραστάσεις των $\alpha_{i}$ και άρα θα είναι αλγεβρικοί ακέραιοι! Αφού ανήκουν στο $\mathbb{Q}$ τότε (επειδή κάθε αλγεβρικός ακέραιος που ανήκει στο $\mathbb{Q}$ ανήκει στο $\mathbb{Z}$ ) θα ανήκουν στο $\mathbb{Z}.$

Νικόλαος Κατσίπης

#3

nkatsipis έγραψε:Λοιπόν Αναστάση,

Έστω $g(x)\in \mathbb{Q}[x]$ ένας μονικός παράγοντας του . Άρα:

$f(x)=g(x)\cdot h(x)$ , με $h(x)\in \mathbb{Q}[x]$ επίσης μονικό.

Έστω τo ΕΚΠ των παρανομαστών των συντελεστών των πολυωνύμων αντίστοιχα.

Οπότε, $mg(x), nh(x)\in \mathbb{Z}[x].$ Ονομάζουμε, $g_{1}(x):=mg(x)$ και $h_{1}(x)=nh(x).$
Τότε,

$mnf(x)=g_{1}(x)h_{1}(x)\in \mathbb{Z}[x].$

Αν ένας πρώτος διαιρεί το τότε: (modulo p)

$0=\bar{g}_{1}(x)\cdot\bar{h}_{1}(x)$ στο $\mathbb{F}_{p}[x]$ .

Όμως, το $\mathbb{F}_{p}[x]$ είναι ακέραια περιοχή (δεν έχει διαιρέτες του μηδενός), άρα,

το διαιρεί όλους τους συντελεστές τουλάχιστον ενός από τα $g_{1}, h_{1},$ έστω του $g_{1}$ . Επειδή το είναι μονικό και ο διαιρει όλους τους συντελεστές του $mg(x)=g_{1}(x)$ , έπεται ότι διαιρεί το . Οπότε, το πολυώνυμο $\frac{m}{p}g(x)$ είναι στοιχείο του $\mathbb{Z}[x]$ .

Άτοπο, από τον ορισμό του .

Ωραίοσσσσς

nkatsipis έγραψε:Ας δούμε και μια άλλη απόδειξη της πρότασης (πολύ πιο όμορφη κατα την γνώμη μου από την προηγούμενη):

(θα χρειαστούμε όμως κάποια βασικά της Αλγεβρικής θεωρίας αριθμών)

Έστω $\alpha_{1},\ldots,\alpha_{m}$ οι ρίζες του στο $\mathbb{C}$ . Αυτές θα είναι αλγεβρικοί ακέραιοι αφού $f\in \mathbb{Z}[x].$ Οι συντελεστές οποιουδήποτε μονικού παράγοντα του θα είναι πολυωνυμικές παραστάσεις των $\alpha_{i}$ και άρα θα είναι αλγεβρικοί ακέραιοι! Αφού ανήκουν στο $\mathbb{Q}$ τότε (επειδή κάθε αλγεβρικός ακέραιος που ανήκει στο $\mathbb{Q}$ ανήκει στο $\mathbb{Z}$ ) θα ανήκουν στο $\mathbb{Z}.$

Πιο ωραίοσσσσσσσσς

Κύριε Κατσίπη Νικόλαε: οι ανωτέρω παρατεθείσες αποδείξεις σας είναι αμφότερες κούλ

Επιτρέψτε μου να παραθέσω και τη δική μου σκέψη πάνω στο ζήτημα

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Έχουμε λοιπόν:
Έστω $f(x)=f_{1}(x)\cdot\ldots\cdot f_{n}(x)$ παραγοντοποίηση του f(x)

στο $\mathbb{Q}[x]$ και έστω $f_{i_{0}}(x)$ μονικό. Αφού το f(x)

παραγοντοποιείται στο $\mathbb{Q}[x]$ , από το λήμμα του φίλου μου του Γκάους θα παραγοντοποιείται και στο $\mathbb{Z}[x]$ και έστω $f(x)=g_{1}(x)\cdot\ldots\cdot g_{m}(x)$ με $g_{i}(x)\in\mathbb{Z}[x]$ μονικά. Αυτή όμως η παραγοντοποίηση αποτελεί και παραγοντοποίηση στο $\mathbb{Q}[x]$ και αφού το $\mathbb{Q}[x]$ είναι περιοχή μονοσήμαντης παραγοντοποίησης, αναγκαστικά θα είναι m=n

και $f_{i_{0}}\equiv g_{j_{0}}$ για κάποιο $j_{0}\in\{1,\ldots,m\}$ . Όμως το $g_{j_{0}}$ είναι μονικό συνεπώς...

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Παράγοντες μονικού πολυωνύμου

Παράγοντες μονικού πολυωνύμου

Re: Παράγοντες μονικού πολυωνύμου

Re: Παράγοντες μονικού πολυωνύμου

Μέλη σε σύνδεση