Ανισότητα και ολοκλήρωμα

mathxl · #1

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f, με f(0)=0 και $\displaystyle{0 < f^{\prime}\left( x \right) \le 1}$ (η ισότητα ισχύει για πεπερασμένου πλήθους σημεία που δεν σχηματίζουν διάστημα). Να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle{x \ge 0}$ ισχύει $\displaystyle{ \displaystyle \int_{0}^{x}f^{3}\leq (\int_{0}^{x}f)^{2} }$

#2

Θεωρούμε τη συνάρτηση $g(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f^3(t)dt-\left(\displaystyle\int_{0}^xf(t)dt\right)^2$

οπότε $g^{\prime}(x)=f(x)\left(f^2(x)-2\displaystyle\int_0^x f(t)dt\right)$ .

Όμως επειδή $f^{\prime}(x)>0$ άρα η

είναι γνησίως αύξουσα συνεπώς για $x \geq 0$ έχουμε $f(x) \geq f(0)=0$ . Άρα πλέον, για να μελετήσουμε το πρόσημο της $g^{\prime}(x)$ αρκεί να μελετήσουμε το πρόσημο της $h(x)=f^2(x)-2\displaystyle\int_0^x f(t)dt$ για την οποία έχουμε $h^{\prime}(x)=2f(x)\left(f^{\prime}(x)-1\right)\leq 0$ για $x\geq 0$ . Άρα όταν $x\geq 0$ έχουμε $g(x)\leq g(0)=0$ .

Άρα τελικά για $x\geq 0$ έχουμε $g^{\prime}(x)\leq 0$ , δηλαδή η g(x)

είναι γνησίως φθίνουσα συνεπώς αν $x\geq 0$ παίρνουμε $g(x)\leq g(0)=0$ που είναι και το ζητούμενο.

Αλέξανδρος

EDIT: Ευχαριστώ τον mathxl για τη διόρθωση! Λόγω του δεδομένου "η ισότητα ισχύει για πεπερασμένου πλήθους σημεία που δεν σχηματίζουν διάστημα" έχουμε γνήσια μονοτονία για τη g.

#3

Επειδή η πρόταση που αναφέρει ο Αλέξανδρος στο edit είναι εκτός ύλης, αλλά πολύ χρήσιμη, στέλνω σε συνημμένο μια σειρά προτάσεων,σχολικού επιπέδου, που μπορεί να φανεί χρήσιμη, και περιέχει την απόδειξη της προηγούμενης πρότασης.

Ανισότητα και ολοκλήρωμα

Ανισότητα και ολοκλήρωμα

Re: Ανίσωση και ολοκλήρωμα

Re: Ανίσωση και ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση